τρίγωνο simplex.

3 στρατηγικές σημαίνει πραγματικό τρίγωνο simplex.

Πάμε με το πιο καθαρό παράδειγμα: Rock–Paper–Scissors (Πέτρα–Ψαλίδι–Χαρτί).

1. Το παιχνίδι (3 στρατηγικές)

Παίκτης 1:

• $R$ = Πέτρα

• $P$ = Χαρτί

• $S$ = Ψαλίδι

Παίκτης 2: ίδια.

Πίνακας αποδόσεων Παίκτη 1 (κλασικό):

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 0& -1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$$

(Ο Παίκτης 2 έχει το αντίθετο, μηδενικό άθροισμα.)

2. Μικτή στρατηγική και τρίγωνο simplex

Μικτή στρατηγική Παίκτη 1:

$$p=(p_R,p_P,p_S),p_R,p_P,p_S\ge 0,p_R+p_P+p_S=1$$

Αυτός ο χώρος:

$${\mathrm{\Delta }}^2=\{(p_R,p_P,p_S):p_i\ge 0,\sum p_i=1\}$$

είναι τρίγωνο (2‑simplex).

Κάθε σημείο μέσα στο τρίγωνο είναι μια μικτή στρατηγική.

3. Αλγεβρική λύση Nash

Έστω ότι ο Παίκτης 2 παίζει:

$$q=(q_R,q_P,q_S)$$

Απόδοση Παίκτη 1 αν παίξει:

• $R$:

$$u_1(R)=0\cdot q_R+(-1)\cdot q_P+1\cdot q_S=-q_P+q_S$$

• $P$:

$$u_1(P)=1\cdot q_R+0\cdot q_P+(-1)\cdot q_S=q_R-q_S$$

• $S$:

$$u_1(S)=(-1)\cdot q_R+1\cdot q_P+0\cdot q_S=-q_R+q_P$$

Στην ισορροπία, ο Παίκτης 1 πρέπει να είναι αδιάφορος ανάμεσα σε $R,P,S$ (για να μπορεί να παίζει και τις 3):

$$u_1(R)=u_1(P)=u_1(S)$$

Άρα:

$$-q_P+q_S=q_R-q_S=-q_R+q_P$$

Λύνοντας (και με $q_R+q_P+q_S=1$) παίρνουμε:

$$q_R=q_P=q_S=\frac{1}{3}$$

Ανάλογα για τον Παίκτη 2:

$$p_R=p_P=p_S=\frac{1}{3}$$

👉 Ισορροπία Nash:

$$p^{\text{*}}=q^{\text{*}}=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$$

4. Γεωμετρικά: πώς φαίνεται στο τρίγωνο

• Οι κορυφές του τριγώνου:

  • $(1,0,0)$ → μόνο Πέτρα

  • $(0,1,0)$ → μόνο Χαρτί

  • $(0,0,1)$ → μόνο Ψαλίδι

• Το σημείο:

$$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$$

είναι το κέντρο του τριγώνου (barycenter).

Εκεί:

• καμία καθαρή στρατηγική δεν είναι καλύτερη από τις άλλες,

• ο παίκτης είναι αδιάφορος,

• άρα μπορεί να παίζει και τις 3 με ίση πιθανότητα.

5. Τι κερδίζεις από το τρίγωνο simplex

• Βλέπεις όλο τον χώρο στρατηγικών σαν γεωμετρικό αντικείμενο.

• Το Nash είναι ένα σημείο μέσα στο τρίγωνο.

• Οι best‑response περιοχές είναι υποπεριοχές του τριγώνου.

• Η τομή τους δίνει το σημείο ισορροπίας.

Το παιχνίδι που θα χρησιμοποιήσουμε είναι το Rock–Paper–Scissors, γιατί είναι το πιο καθαρό 3‑στρατηγικό παιχνίδι με μοναδικό μικτό Nash στο κέντρο του simplex.

🔴 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ (3 στρατηγικές)

Παίκτης 1:

• $R$ = Πέτρα

• $P$ = Χαρτί

• $S$ = Ψαλίδι

Παίκτης 2: ίδια.

Πίνακας αποδόσεων Παίκτη 1:

$$\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">A</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\begin{array}{ccc}\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}& <span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}& \mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}\\ \mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}& \mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}& <span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}\\ <span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}& \mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}& \mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}\end{array}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span>$$

Ο Παίκτης 2 έχει το αντίθετο (μηδενικό άθροισμα).

🔵 2. Ο ΧΩΡΟΣ ΜΙΚΤΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ = ΤΡΙΓΩΝΟ SIMPLEX

Μικτή στρατηγική Παίκτη 1:

$$\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">i</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">\ge </span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}$$

Αυτός ο χώρος:

$${\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">\Delta </span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">2</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">\{</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">:</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">i</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">\ge </span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>\text{<span style="color: \#f1c232;">\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">\sum </span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">i</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">\}</span>$$

είναι τρίγωνο.

• Κορυφή 1: $(1,0,0)$ → μόνο Πέτρα

• Κορυφή 2: $(0,1,0)$ → μόνο Χαρτί

• Κορυφή 3: $(0,0,1)$ → μόνο Ψαλίδι

Κάθε σημείο μέσα στο τρίγωνο είναι μια μικτή στρατηγική.

🟣 3. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΛΥΣΗ NASH (βήμα‑βήμα)

Έστω ότι ο Παίκτης 2 παίζει:

$$\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span>$$

Απόδοση Παίκτη 1 αν παίξει:

• $R$:

$${\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">u</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}$$

• $P$:

$${\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">u</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}$$

• $S$:

$${\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">u</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}$$

Στην ισορροπία, ο Παίκτης 1 πρέπει να είναι αδιάφορος μεταξύ R, P, S:

$$<span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}$$

Με την κανονικοποίηση $q_R+q_P+q_S=1$, λύση:

$${\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}$$

Ανάλογα για τον Παίκτη 2:

$${\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}$$

👉 Ισορροπία Nash:

$${\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}^{\text{<span style="color: \#f1c232;">*</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}^{\text{<span style="color: \#f1c232;">*</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span>$$

🟢 4. ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΛΥΣΗ

Μικτές στρατηγικές:

$$\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">x</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\begin{array}{c}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}\\ {\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}\\ {\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}\end{array}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">y</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\begin{array}{c}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}\\ {\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}\\ {\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}\end{array}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span>$$

Απόδοση Παίκτη 1:

$${\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">U</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">T</span>}}\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">A</span>}\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">y</span>}$$

Υπολογίζουμε:

$$\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">A</span>}\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">y</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\begin{array}{ccc}\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}& <span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}& \mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}\\ \mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}& \mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}& <span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}\\ <span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}& \mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}& \mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}\end{array}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\begin{array}{c}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}\\ {\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}\\ {\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}\end{array}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\begin{array}{c}<span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}\\ {\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}\\ <span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}\end{array}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span>$$

Στην ισορροπία, οι στρατηγικές που παίζονται με θετική πιθανότητα πρέπει να έχουν ίση απόδοση:

$$<span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">-</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}$$

Λύση:

$${\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">R</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">P</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}}_{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">S</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}$$

🟡 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΛΥΣΗ (best‑response regions)

Στο τρίγωνο:

• κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μια μικτή στρατηγική

• οι best‑response περιοχές είναι 3 καμπύλες που χωρίζουν το τρίγωνο

• η τομή τους είναι ένα σημείο: το κέντρο του τριγώνου

Αυτό το σημείο είναι:

$$<span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span>$$

🟤 6. LCP (Linear Complementarity Problem) — ιδέα

Το Nash γράφεται ως:

$$\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">z</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">\ge </span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">M</span>}\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">z</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">\ge </span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">z</span>}}^{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">T</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">M</span>}\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">z</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">+</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">q</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}$$

όπου:

• $z$ = πιθανότητες + dual μεταβλητές

• $M$, $q$ = κατασκευάζονται από τις μήτρες αποδόσεων

Ο αλγόριθμος Lemke–Howson βρίσκει το Nash ακολουθώντας ένα μονοπάτι σε πολυεδρικό γράφο.

Για το RPS, το μονοπάτι καταλήγει στο:

$$<span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>\frac{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">3</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span>$$

🟧 7. NASH ΩΣ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ BROUWER

Ορίζουμε μια συνεχή απεικόνιση:

$$\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">f</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>\text{<span style="color: \#f1c232;">normalize</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">max</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;"></span><span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">0</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">,</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">u</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span>$$

όπου $u(p)$ είναι οι αποδόσεις των καθαρών στρατηγικών.

Το Nash είναι λύση της εξίσωσης:

$$\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">f</span>}<span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}^{\text{<span style="color: \#f1c232;">*</span>}}<span\; style="color:\; \#f1c232;">)</span><span\; style="color:\; \#f1c232;">=</span>{\mathrm{<span\; style="color:\; \#f1c232;">p</span>}}^{\text{<span style="color: \#f1c232;">*</span>}}$$

Το θεώρημα Brouwer εγγυάται ότι υπάρχει πάντα τέτοιο σημείο.

🟩 8. PPAD ΕΡΜΗΝΕΙΑ

Το Nash ανήκει στην κλάση:

$$\text{<span style="color: \#f1c232;">PPAD</span>}$$

που σημαίνει:

• υπάρχει πάντα λύση

• αλλά δεν ξέρουμε αν βρίσκεται σε πολυωνυμικό χρόνο

• η εύρεση Nash ισορροπίας είναι PPAD‑complete

• άρα ισοδύναμη με εύρεση σταθερού σημείου Brouwer

🟥 9. ΤΕΛΙΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ — ΟΛΑ ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΝ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Αναπαράσταση	Τι δείχνει	Πού οδηγεί
Αλγεβρική	Ισοτιμία αποδόσεων	$$1/3,1/3,1/3
Μήτρες	Γραμμική μορφή	$$1/3,1/3,1/3
Simplex	Γεωμετρία	Κέντρο τριγώνου
Best‑responses	Τομές	Κέντρο
LCP	Συμπληρωματικότητα	$$1/3,1/3,1/3
Brouwer	Σταθερό σημείο	$$1/3,1/3,1/3
PPAD	Πολυπλοκότητα	Ίδιο σημείο

Όλα καταλήγουν στο:

$$\boxed{{\displaystyle <span\; style="color:\; \#f1c232;">(</span>\frac{\mathrm{1/}}{3},\frac{\mathrm{1/}}{3},\frac{\mathrm{1/}}{3})}}$$

$$\boxed{{\displaystyle <br>}}$$

$$\boxed{{\displaystyle {\rm O}\; \alpha \lambda \gamma ό\rho \iota \theta \mu o\varsigma \; <strong>Lemke–Howson</strong>\; \beta \rho ί\sigma \kappa \epsilon \iota \; \tau o\; Nash\; \alpha \kappa o\lambda o\upsilon \theta ώ\nu \tau \alpha \varsigma \; έ\nu \alpha \; \mu o\nu o\pi ά\tau \iota \; \sigma \epsilon \; \pi o\lambda \upsilon \epsilon \delta \rho \iota \kappa ό\; \gamma \rho ά\phi o.}}$$

$$\boxed{{\displaystyle <br>}}$$

$$\boxed{{\displaystyle <br>}}$$