Τσιαντής, Κώστας. Ο ΑθηναΪκός νόμος τη;ς αντιπροσώπευσης

 Απόδειξη του νόμου.

1. Πιθανότητα ένταξης

Για πληθυσμό μεγέθους $N$ και δείγμα μεγέθους $n$:

$$p_{\text{inc}}=\frac{n}{N}\mathrm{.}$$

2. Ελάχιστο μέγεθος ανά κατηγορία

Ζητάμε για κάθε κατηγορία $i$ του δείγματος το μέγεθος $n_i$ να ικανοποιεί:

$$n_i\ge 1\text{και}{n}_i\ge \frac{1}{p_{\text{inc}}}=\frac{N}{n}\mathrm{.}$$

Άρα συνολικά:

$$n_i\ge \frac{N}{n}\mathrm{.}$$

3. Σχέση πληθυσμού–δείγματος: $w_i={\lambda }_i$

Έστω:

• $w_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στον πληθυσμό,

• ${\lambda }_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στο δείγμα.

Θέτουμε την απαίτηση:

$$w_i={\lambda }_i\mathrm{.}$$

Τότε:

$$n_i={\lambda }_{i}n=w_{i}n\mathrm{.}$$

4. Επιβολή της ανισότητας

Από:

$$n_i\ge \frac{N}{n}$$

και

$$n_i=w_{i}n$$

παίρνουμε:

$$w_{i}n\ge \frac{N}{n}⟹n^2\ge \frac{N}{w_i}\mathrm{.}$$

Αυτό είναι ακριβώς αυτό που έγραψες: όχι $n^2\ge N{w}_i$, αλλά:

$$\boxed{{\displaystyle n^2\ge \frac{N}{w_i}}}\mathrm{.}$$

5. Για όλες τις κατηγορίες

Η απαίτηση πρέπει να ισχύει για όλες τις κατηγορίες $i=1,\dots ,m$:

$$n^2\ge \frac{N}{w_1},n^2\ge \frac{N}{w_2},\dots ,n^2\ge \frac{N}{w_m}\mathrm{.}$$

Πολλαπλασιάζουμε:

$$n^{2m}\ge \frac{N^m}{w_1{w}_2\cdots w_m}\mathrm{.}$$

Παίρνουμε ρίζα $m$-οστή:

$$n^2\ge \frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}\mathrm{.}$$

Και τετραγωνική ρίζα:

$$\boxed{{\displaystyle n\ge \sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}}}$$

που είναι ο Αθηναϊκός Νόμος.