Δημοσιεύσεις στη Ροή
Ο Freeman Dyson και η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική
-----------------------------------------------------------------
Το καλοκαίρι του 1948, ένας νεαρός μαθηματικός, μόλις 24 ετών, επιβιβάστηκε σε ένα λεωφορείο Greyhound από το Μπέρκλεϊ με προορισμό το Πρίνστον. Το ταξίδι διήρκεσε τέσσερις ημέρες. Στη διάρκεια αυτών των χιλιάδων χιλιομέτρων, ο Freeman Dyson επεξεργαζόταν ασταμάτητα ένα πρόβλημα που απασχολούσε την παγκόσμια κοινότητα των θεωρητικών φυσικών. Μέχρι να φτάσει στον προορισμό του, είχε ήδη συλλάβει την κεντρική ιδέα μιας εργασίας που επρόκειτο να αλλάξει οριστικά τον τρόπο με τον οποίο οι φυσικοί υπολόγιζαν τις αλληλεπιδράσεις των στοιχειωδών σωματιδίων.
Η εργασία αυτή δημοσιεύθηκε το 1949 και θεωρείται σήμερα ένα από τα θεμέλια της σύγχρονης Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου.
Τρεις διαφορετικοί δρόμοι προς την ίδια φυσική
Στα τέλη της δεκαετίας του 1940 η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική (Quantum Electrodynamics – QED), η θεωρία που περιγράφει την αλληλεπίδραση φωτός και ύλης, είχε ήδη γνωρίσει τρεις ανεξάρτητες διατυπώσεις.
Στο Πανεπιστήμιο Harvard, ο Julian Schwinger είχε αναπτύξει μια εξαιρετικά αυστηρή μαθηματική θεωρία, βασισμένη στην κανονική κβάντωση των πεδίων και σε πολύπλοκους τελεστές. Οι υπολογισμοί του ήταν υποδειγματικά ακριβείς, αλλά η μαθηματική τους μορφή ήταν ιδιαίτερα δύσκολη ακόμη και για ειδικούς.
Στην Ιαπωνία, ο Sin-Itiro Tomonaga, εργαζόμενος σχεδόν απομονωμένος κατά τη διάρκεια και αμέσως μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο, είχε καταλήξει ανεξάρτητα σε ουσιαστικά τα ίδια φυσικά αποτελέσματα, ακολουθώντας μια επίσης αυστηρή θεωρητική προσέγγιση.
Στο Cornell, όμως, ο Richard Feynman είχε επιλέξει έναν εντελώς διαφορετικό δρόμο. Αντί για εκτεταμένες εξισώσεις, σχεδίαζε απλά σχήματα: γραμμές που παρίσταναν σωματίδια, κορυφές όπου αυτά αλληλεπιδρούσαν και εσωτερικές γραμμές που αντιστοιχούσαν σε εικονικά φωτόνια. Τα περίφημα πλέον διαγράμματα Feynman επέτρεπαν υπολογισμούς που μέχρι τότε απαιτούσαν δεκάδες σελίδες μαθηματικών πράξεων.
Το παράδοξο ήταν ότι κανείς δεν μπορούσε να αποδείξει αυστηρά γιατί αυτά τα διαγράμματα λειτουργούσαν τόσο καλά. Ακόμη και ο ίδιος ο Feynman δεν είχε παρουσιάσει μια πλήρη μαθηματική θεμελίωση της μεθόδου του.
Η κατάσταση έμοιαζε σαν τρεις επιστήμονες να είχαν λύσει το ίδιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας τρεις διαφορετικές γλώσσες, χωρίς να είναι σαφές ότι όλες περιέγραφαν ακριβώς την ίδια φυσική πραγματικότητα.
Η μεγάλη συνεισφορά του Dyson
Ο Dyson αποφάσισε να συγκρίνει τις τρεις θεωρίες από τα θεμέλιά τους.
Κεντρικό ρόλο στην απόδειξή του είχε ο πίνακας σκέδασης (S-matrix), ο μαθηματικός τελεστής που συνδέει την αρχική κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος στο απώτερο παρελθόν με την τελική του κατάσταση στο απώτερο μέλλον.
Ανέπτυξε τον S-matrix σε διαταρακτική σειρά και απέδειξε ότι οι όροι που προέκυπταν από τη μαθηματική διατύπωση του Schwinger αντιστοιχούσαν έναν προς έναν στα διαγράμματα του Feynman.
Για να οργανώσει αυτή τη διαδικασία εισήγαγε μια έννοια που σήμερα αποτελεί βασικό εργαλείο της θεωρητικής φυσικής: τη χρονική διάταξη (time ordering). Σύμφωνα με αυτήν, οι τελεστές πρέπει να τοποθετούνται με τη σειρά που πραγματοποιούνται τα αντίστοιχα φυσικά γεγονότα στον χρόνο.
Από αυτή τη θεώρηση προέκυψε η περίφημη σειρά Dyson (Dyson Series), δηλαδή η συστηματική ανάπτυξη του S-matrix ως άπειρου αθροίσματος χρονικά διατεταγμένων γινομένων τελεστών.
Η σημασία της ήταν τεράστια. Τα διαγράμματα του Feynman έπαψαν να αποτελούν μια έξυπνη αλλά ανεξήγητη συντόμευση και απέκτησαν αυστηρή μαθηματική θεμελίωση. Κάθε γραμμή, κάθε κορυφή και κάθε βρόχος ενός διαγράμματος αντιστοιχούσε πλέον σε έναν συγκεκριμένο όρο της ανάπτυξης του S-matrix.
Με άλλα λόγια, τα διαγράμματα του Feynman αποδείχθηκε ότι αποτελούσαν μια εξαιρετικά συμπυκνωμένη σημειογραφία της ίδιας φυσικής που ο Schwinger υπολόγιζε με πολύπλοκες εξισώσεις.
Το πρόβλημα των απείρων
Η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική αντιμετώπιζε ακόμη ένα σοβαρό πρόβλημα.
Κατά τους υπολογισμούς εμφανίζονταν ολοκληρώματα που οδηγούσαν σε άπειρες τιμές, ιδιαίτερα όταν εξετάζονταν εικονικά σωματίδια με αυθαίρετα μεγάλες ορμές. Φαινόταν σαν η θεωρία να καταρρέει μαθηματικά.
Ο Dyson αντιμετώπισε το πρόβλημα συστηματικά.
Έδειξε ότι οι αποκλίσεις αυτές δεν εμφανίζονται στις πραγματικά μετρούμενες φυσικές ποσότητες. Οι άπειροι όροι μπορούν να απορροφηθούν σε έναν επαναπροσδιορισμό δύο βασικών μεγεθών του ηλεκτρονίου: της μάζας και του ηλεκτρικού φορτίου του.
Οι τιμές που μετρούνται στο εργαστήριο είναι ήδη οι «ανακανονικοποιημένες» τιμές, οι οποίες περιλαμβάνουν όλες αυτές τις διορθώσεις.
Έτσι, καμία φυσικά παρατηρήσιμη ποσότητα δεν γίνεται άπειρη.
Η διαδικασία αυτή, γνωστή ως ανακανονικοποίηση (renormalization), υπήρχε ήδη σε πρώιμη μορφή, αλλά εφαρμοζόταν αποσπασματικά. Η εργασία του Dyson απέδειξε ότι μπορεί να εφαρμοστεί με συνέπεια σε κάθε τάξη της διαταρακτικής ανάπτυξης, μετατρέποντάς την σε μια γενική και αξιόπιστη μαθηματική διαδικασία.
Η κληρονομιά της εργασίας
Η μεγαλύτερη ίσως επίδραση της εργασίας του Dyson δεν περιορίζεται στα θεωρητικά της αποτελέσματα.
Αφού απέδειξε ότι τα διαγράμματα του Feynman είναι πλήρως ισοδύναμα με τον αυστηρό τελεστικό φορμαλισμό των Schwinger και Tomonaga, οι φυσικοί απέκτησαν τη βεβαιότητα ότι μπορούσαν να χρησιμοποιούν τα διαγράμματα χωρίς να θυσιάζουν τη μαθηματική αυστηρότητα.
Οι εξαιρετικά πολύπλοκοι υπολογισμοί μετατράπηκαν σε μια διαδικασία που ξεκινούσε κυριολεκτικά με ένα σχέδιο πάνω στο χαρτί.
Αυτός είναι ο λόγος που τα διαγράμματα Feynman διαδόθηκαν με εκπληκτική ταχύτητα σε ολόκληρη τη φυσική κοινότητα και καθιερώθηκαν ως η καθολική γλώσσα της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου.
Σήμερα, από την Κβαντική Χρωμοδυναμική έως το Καθιερωμένο Πρότυπο της Σωματιδιακής Φυσικής, σχεδόν κάθε υπολογισμός βασίζεται στη μαθηματική θεμελίωση που προσέφερε εκείνη η εργασία του Freeman Dyson.
Η τετραήμερη διαδρομή με ένα υπεραστικό λεωφορείο το καλοκαίρι του 1948 κατέληξε έτσι σε μία από τις σημαντικότερες συνεισφορές στη σύγχρονη θεωρητική φυσική, ενοποιώντας τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις σε μία ενιαία και συνεπή περιγραφή της φύσης.
Βιβλιογραφία (Harvard)
Dyson, F.J. (1949). The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman. Physical Review, 75(3), 486–502.
Schwinger, J. (1948). On Quantum-Electrodynamics and the Magnetic Moment of the Electron. Physical Review, 73(4), 416–417.
Feynman, R.P. (1949). Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics. Physical Review, 76(6), 769–789.
Tomonaga, S. (1946). On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. Progress of Theoretical Physics, 1(2), 27–42.
Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume I: Foundations. Cambridge University Press.
Schweber, S.S. (1994). QED and the Men Who Made It. Princeton University Press.
Λιγότερα
