Ο Freeman Dyson και η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

 

Δημοσιεύσεις στη Ροή

Dimitrios Nikolopoulos 

·

Ακολουθήστε

Πληροφορίες τεχνητής νοημοσύνης

 

·

8 Ιουλίου στις 8:42 μ.μ. 

·

Ο Freeman Dyson και η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

-----------------------------------------------------------------

Το καλοκαίρι του 1948, ένας νεαρός μαθηματικός, μόλις 24 ετών, επιβιβάστηκε σε ένα λεωφορείο Greyhound από το Μπέρκλεϊ με προορισμό το Πρίνστον. Το ταξίδι διήρκεσε τέσσερις ημέρες. Στη διάρκεια αυτών των χιλιάδων χιλιομέτρων, ο Freeman Dyson επεξεργαζόταν ασταμάτητα ένα πρόβλημα που απασχολούσε την παγκόσμια κοινότητα των θεωρητικών φυσικών. Μέχρι να φτάσει στον προορισμό του, είχε ήδη συλλάβει την κεντρική ιδέα μιας εργασίας που επρόκειτο να αλλάξει οριστικά τον τρόπο με τον οποίο οι φυσικοί υπολόγιζαν τις αλληλεπιδράσεις των στοιχειωδών σωματιδίων.

Η εργασία αυτή δημοσιεύθηκε το 1949 και θεωρείται σήμερα ένα από τα θεμέλια της σύγχρονης Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου.

Τρεις διαφορετικοί δρόμοι προς την ίδια φυσική

Στα τέλη της δεκαετίας του 1940 η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική (Quantum Electrodynamics – QED), η θεωρία που περιγράφει την αλληλεπίδραση φωτός και ύλης, είχε ήδη γνωρίσει τρεις ανεξάρτητες διατυπώσεις.

Στο Πανεπιστήμιο Harvard, ο Julian Schwinger είχε αναπτύξει μια εξαιρετικά αυστηρή μαθηματική θεωρία, βασισμένη στην κανονική κβάντωση των πεδίων και σε πολύπλοκους τελεστές. Οι υπολογισμοί του ήταν υποδειγματικά ακριβείς, αλλά η μαθηματική τους μορφή ήταν ιδιαίτερα δύσκολη ακόμη και για ειδικούς.

Στην Ιαπωνία, ο Sin-Itiro Tomonaga, εργαζόμενος σχεδόν απομονωμένος κατά τη διάρκεια και αμέσως μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο, είχε καταλήξει ανεξάρτητα σε ουσιαστικά τα ίδια φυσικά αποτελέσματα, ακολουθώντας μια επίσης αυστηρή θεωρητική προσέγγιση.

Στο Cornell, όμως, ο Richard Feynman είχε επιλέξει έναν εντελώς διαφορετικό δρόμο. Αντί για εκτεταμένες εξισώσεις, σχεδίαζε απλά σχήματα: γραμμές που παρίσταναν σωματίδια, κορυφές όπου αυτά αλληλεπιδρούσαν και εσωτερικές γραμμές που αντιστοιχούσαν σε εικονικά φωτόνια. Τα περίφημα πλέον διαγράμματα Feynman επέτρεπαν υπολογισμούς που μέχρι τότε απαιτούσαν δεκάδες σελίδες μαθηματικών πράξεων.

Το παράδοξο ήταν ότι κανείς δεν μπορούσε να αποδείξει αυστηρά γιατί αυτά τα διαγράμματα λειτουργούσαν τόσο καλά. Ακόμη και ο ίδιος ο Feynman δεν είχε παρουσιάσει μια πλήρη μαθηματική θεμελίωση της μεθόδου του.

Η κατάσταση έμοιαζε σαν τρεις επιστήμονες να είχαν λύσει το ίδιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας τρεις διαφορετικές γλώσσες, χωρίς να είναι σαφές ότι όλες περιέγραφαν ακριβώς την ίδια φυσική πραγματικότητα.

Η μεγάλη συνεισφορά του Dyson

Ο Dyson αποφάσισε να συγκρίνει τις τρεις θεωρίες από τα θεμέλιά τους.

Κεντρικό ρόλο στην απόδειξή του είχε ο πίνακας σκέδασης (S-matrix), ο μαθηματικός τελεστής που συνδέει την αρχική κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος στο απώτερο παρελθόν με την τελική του κατάσταση στο απώτερο μέλλον.

Ανέπτυξε τον S-matrix σε διαταρακτική σειρά και απέδειξε ότι οι όροι που προέκυπταν από τη μαθηματική διατύπωση του Schwinger αντιστοιχούσαν έναν προς έναν στα διαγράμματα του Feynman.

Για να οργανώσει αυτή τη διαδικασία εισήγαγε μια έννοια που σήμερα αποτελεί βασικό εργαλείο της θεωρητικής φυσικής: τη χρονική διάταξη (time ordering). Σύμφωνα με αυτήν, οι τελεστές πρέπει να τοποθετούνται με τη σειρά που πραγματοποιούνται τα αντίστοιχα φυσικά γεγονότα στον χρόνο.

Από αυτή τη θεώρηση προέκυψε η περίφημη σειρά Dyson (Dyson Series), δηλαδή η συστηματική ανάπτυξη του S-matrix ως άπειρου αθροίσματος χρονικά διατεταγμένων γινομένων τελεστών.

Η σημασία της ήταν τεράστια. Τα διαγράμματα του Feynman έπαψαν να αποτελούν μια έξυπνη αλλά ανεξήγητη συντόμευση και απέκτησαν αυστηρή μαθηματική θεμελίωση. Κάθε γραμμή, κάθε κορυφή και κάθε βρόχος ενός διαγράμματος αντιστοιχούσε πλέον σε έναν συγκεκριμένο όρο της ανάπτυξης του S-matrix.

Με άλλα λόγια, τα διαγράμματα του Feynman αποδείχθηκε ότι αποτελούσαν μια εξαιρετικά συμπυκνωμένη σημειογραφία της ίδιας φυσικής που ο Schwinger υπολόγιζε με πολύπλοκες εξισώσεις.

Το πρόβλημα των απείρων

Η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική αντιμετώπιζε ακόμη ένα σοβαρό πρόβλημα.

Κατά τους υπολογισμούς εμφανίζονταν ολοκληρώματα που οδηγούσαν σε άπειρες τιμές, ιδιαίτερα όταν εξετάζονταν εικονικά σωματίδια με αυθαίρετα μεγάλες ορμές. Φαινόταν σαν η θεωρία να καταρρέει μαθηματικά.

Ο Dyson αντιμετώπισε το πρόβλημα συστηματικά.

Έδειξε ότι οι αποκλίσεις αυτές δεν εμφανίζονται στις πραγματικά μετρούμενες φυσικές ποσότητες. Οι άπειροι όροι μπορούν να απορροφηθούν σε έναν επαναπροσδιορισμό δύο βασικών μεγεθών του ηλεκτρονίου: της μάζας και του ηλεκτρικού φορτίου του.

Οι τιμές που μετρούνται στο εργαστήριο είναι ήδη οι «ανακανονικοποιημένες» τιμές, οι οποίες περιλαμβάνουν όλες αυτές τις διορθώσεις.

Έτσι, καμία φυσικά παρατηρήσιμη ποσότητα δεν γίνεται άπειρη.

Η διαδικασία αυτή, γνωστή ως ανακανονικοποίηση (renormalization), υπήρχε ήδη σε πρώιμη μορφή, αλλά εφαρμοζόταν αποσπασματικά. Η εργασία του Dyson απέδειξε ότι μπορεί να εφαρμοστεί με συνέπεια σε κάθε τάξη της διαταρακτικής ανάπτυξης, μετατρέποντάς την σε μια γενική και αξιόπιστη μαθηματική διαδικασία.

Η κληρονομιά της εργασίας

Η μεγαλύτερη ίσως επίδραση της εργασίας του Dyson δεν περιορίζεται στα θεωρητικά της αποτελέσματα.

Αφού απέδειξε ότι τα διαγράμματα του Feynman είναι πλήρως ισοδύναμα με τον αυστηρό τελεστικό φορμαλισμό των Schwinger και Tomonaga, οι φυσικοί απέκτησαν τη βεβαιότητα ότι μπορούσαν να χρησιμοποιούν τα διαγράμματα χωρίς να θυσιάζουν τη μαθηματική αυστηρότητα.

Οι εξαιρετικά πολύπλοκοι υπολογισμοί μετατράπηκαν σε μια διαδικασία που ξεκινούσε κυριολεκτικά με ένα σχέδιο πάνω στο χαρτί.

Αυτός είναι ο λόγος που τα διαγράμματα Feynman διαδόθηκαν με εκπληκτική ταχύτητα σε ολόκληρη τη φυσική κοινότητα και καθιερώθηκαν ως η καθολική γλώσσα της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου.

Σήμερα, από την Κβαντική Χρωμοδυναμική έως το Καθιερωμένο Πρότυπο της Σωματιδιακής Φυσικής, σχεδόν κάθε υπολογισμός βασίζεται στη μαθηματική θεμελίωση που προσέφερε εκείνη η εργασία του Freeman Dyson.

Η τετραήμερη διαδρομή με ένα υπεραστικό λεωφορείο το καλοκαίρι του 1948 κατέληξε έτσι σε μία από τις σημαντικότερες συνεισφορές στη σύγχρονη θεωρητική φυσική, ενοποιώντας τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις σε μία ενιαία και συνεπή περιγραφή της φύσης.

Βιβλιογραφία (Harvard)

Dyson, F.J. (1949). The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman. Physical Review, 75(3), 486–502.

Schwinger, J. (1948). On Quantum-Electrodynamics and the Magnetic Moment of the Electron. Physical Review, 73(4), 416–417.

Feynman, R.P. (1949). Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics. Physical Review, 76(6), 769–789.

Tomonaga, S. (1946). On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. Progress of Theoretical Physics, 1(2), 27–42.

Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume I: Foundations. Cambridge University Press.

Schweber, S.S. (1994). QED and the Men Who Made It. Princeton University Press.

Λιγότερα

Η ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑ; Η ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

 

imitrios Nikolopoulos

Πληροφορίες τεχνητής νοημοσύνης

 ·2 ημ. ·

Η ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑ; Η ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Στην κλασική θερμοδυναμική μαθαίνουμε ότι η εντροπία S είναι ένα βαθμωτό και εκτατικό μέγεθος. Είναι βαθμωτό επειδή δεν έχει κατεύθυνση και εκτατικό επειδή, όταν ενώνουμε δύο ανεξάρτητα συστήματα, οι εντροπίες τους προστίθενται:

Sολική = S₁ + S₂.

Όμως στη θεωρία της σχετικότητας εμφανίζεται μια βαθύτερη δομή. Η εντροπία δεν περιγράφεται πλέον μόνο ως ένας συνολικός αριθμός. Πρέπει επίσης να γνωρίζουμε πώς κατανέμεται, πώς κινείται και πώς παράγεται σε κάθε περιοχή του χωροχρόνου. Για τον σκοπό αυτό εισάγεται το τετραρεύμα εντροπίας, ένα τετραδιάνυσμα που συνήθως συμβολίζεται με Sᵘ.

Επομένως, η ακριβής διατύπωση δεν είναι ότι «η εντροπία είναι διάνυσμα», αλλά ότι:

η τοπική πυκνότητα και η ροή της εντροπίας ενώνονται στη σχετικότητα σε ένα τετραδιάνυσμα.

Γιατί δεν αρκεί ένας απλός αριθμός;

Στη νευτώνεια φυσική μπορούμε να μιλάμε για τη συνολική εντροπία ενός σώματος σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, επειδή θεωρούμε ότι υπάρχει ένας παγκόσμιος και κοινός χρόνος για όλους τους παρατηρητές.

Στη σχετικότητα, όμως, δύο παρατηρητές που κινούνται μεταξύ τους δεν συμφωνούν γενικά για το ποια γεγονότα συμβαίνουν ταυτόχρονα. Έτσι, ακόμη και η φράση «η συνολική εντροπία του συστήματος τώρα» απαιτεί να προσδιορίσουμε πάνω σε ποια χωρική τομή του χωροχρόνου γίνεται η μέτρηση.

Η εντροπία πρέπει επομένως να αντιμετωπιστεί τοπικά: κάθε μικρό στοιχείο ενός ρευστού έχει μια πυκνότητα εντροπίας και μεταφέρει αυτή την εντροπία καθώς κινείται. Η σχετικιστική υδροδυναμική συνδυάζει αυτές τις πληροφορίες σε ένα τετραρεύμα, όπως ακριβώς κάνει με το ηλεκτρικό φορτίο ή τον αριθμό των σωματιδίων.

Το τετραρεύμα εντροπίας

Για ένα ιδανικό σχετικιστικό ρευστό, χωρίς θερμική αγωγή ή ιξώδεις απώλειες, το τετραρεύμα εντροπίας γράφεται:

Sᵘ = s uᵘ,

όπου:

s είναι η πυκνότητα εντροπίας στο σύστημα αναφοράς που κινείται μαζί με το ρευστό,

uᵘ είναι η τετραταχύτητα του ρευστού.

Στο τοπικό σύστημα ηρεμίας του ρευστού, το χωρικό μέρος του τετραρεύματος μηδενίζεται. Υπάρχει μόνο η πυκνότητα εντροπίας. Για έναν παρατηρητή ως προς τον οποίο το ρευστό κινείται, εμφανίζονται και χωρικές συνιστώσες: το ρευστό μεταφέρει εντροπία από μια περιοχή σε μια άλλη.

Η χρονική συνιστώσα συνδέεται με την πυκνότητα εντροπίας, ενώ οι τρεις χωρικές συνιστώσες περιγράφουν τη ροή της. Η σχετικότητα ενοποιεί έτσι την ποσότητα και τη μεταφορά της σε ένα ενιαίο γεωμετρικό αντικείμενο.

Η σχετικιστική μορφή του δεύτερου νόμου

Ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής λέει ότι η συνολική εντροπία ενός απομονωμένου συστήματος δεν μπορεί να μειώνεται. Στη σχετικιστική φυσική η τοπική και συναλλοίωτη μορφή του γράφεται:

∇ᵤSᵘ ≥ 0.

Η ποσότητα ∇ᵤSᵘ εκφράζει την τοπική παραγωγή εντροπίας ανά μονάδα χωροχρονικού όγκου.

Για ένα ιδανικό και αντιστρεπτό ρευστό:

∇ᵤSᵘ = 0.

Η εντροπία απλώς μεταφέρεται μαζί με την ύλη, χωρίς να παράγεται.

Για ένα πραγματικό ρευστό με ιξώδες, θερμική αγωγή, διάχυση ή άλλες μη αντιστρεπτές διεργασίες:

∇ᵤSᵘ > 0.

Παράγεται νέα εντροπία. Με αυτόν τον τρόπο, ο δεύτερος νόμος δεν διατυπώνεται απλώς ως μια χρονική αύξηση ενός συνολικού αριθμού, αλλά ως ένας τοπικός νόμος που ισχύει σε κάθε σημείο του χωροχρόνου. Η απαίτηση της μη αρνητικής απόκλισης του τετραρεύματος χρησιμοποιείται μάλιστα για να περιορίζει τις επιτρεπτές εξισώσεις της σχετικιστικής υδροδυναμικής.

Τι συμβαίνει όταν υπάρχει θερμική ροή;

Σε ένα μη ιδανικό ρευστό, η εντροπία δεν μεταφέρεται μόνο από την κίνηση της ύλης. Μπορεί να υπάρχει θερμική ροή, διάχυση και ιξώδης διασπορά. Σε μια απλή προσέγγιση το τετραρεύμα περιλαμβάνει έναν πρόσθετο όρο της μορφής:

Sᵘ = s uᵘ + qᵘ/T + διορθώσεις,

όπου qᵘ είναι η σχετικιστική ροή θερμότητας και T η θερμοκρασία.

Οι θεωρίες Eckart και Israel–Stewart ανέπτυξαν αυτή την ιδέα, με τη θεωρία Israel–Stewart να εισάγει χρόνους χαλάρωσης ώστε η διάδοση των θερμικών και ιξωδών διαταραχών να παραμένει αιτιακή και να μην εμφανίζονται στιγμιαίες επιδράσεις σε αυθαίρετα μεγάλες αποστάσεις.

Ποια είναι η σχέση με την εκτατικότητα;

Η εκτατικότητα της εντροπίας είναι σημαντική, αλλά δεν την καθιστά διάνυσμα. Και ο όγκος, η μάζα ή ο αριθμός των σωματιδίων είναι εκτατικά μεγέθη, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι διανύσματα.

Η εκτατικότητα σημαίνει ότι η συνολική εντροπία προκύπτει από την πρόσθεση των τοπικών συνεισφορών. Στη σχετικότητα αυτή η πρόσθεση πραγματοποιείται με ολοκλήρωση του τετραρεύματος πάνω σε μια χωρικού τύπου υπερεπιφάνεια Σ:

S[Σ] = ∫Σ Sᵘ dΣᵤ.

Το dΣᵤ περιγράφει τον προσανατολισμό της τρισδιάστατης τομής μέσα στον τετραδιάστατο χωροχρόνο. Η συστολή του με το τετραρεύμα δίνει τελικά έναν βαθμωτό αριθμό: τη συνολική εντροπία που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη τομή.

Αν μεταξύ δύο τέτοιων τομών δεν παράγεται εντροπία και δεν υπάρχει ροή από τα όρια, η συνολική εντροπία παραμένει ίδια. Αν υπάρχουν μη αντιστρεπτές διεργασίες, η μεταγενέστερη τομή περιέχει περισσότερη εντροπία.

Μια σημαντική επιφύλαξη

Η συνηθισμένη εκτατικότητα ισχύει καλά για συστήματα με βραχυ-range αλληλεπιδράσεις και ασθενή βαρύτητα. Στα ισχυρά αυτοβαρυτικά συστήματα η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη. Η εντροπία μιας μαύρης τρύπας, για παράδειγμα, είναι ανάλογη προς το εμβαδόν του ορίζοντα και όχι προς τον όγκο της. Επομένως, η βαρύτητα δείχνει ότι η εντροπία δεν είναι πάντοτε εκτατική με την απλή θερμοδυναμική έννοια.

Συμπέρασμα

Η εντροπία S, ως συνολική φυσική ποσότητα, είναι βαθμωτό μέγεθος. Η πυκνότητα και η ροή της, όμως, σχηματίζουν στη σχετικότητα το τετραρεύμα εντροπίας Sᵘ.

Αυτή η διάκριση είναι θεμελιώδης:

η εντροπία είναι αυτό που μετράμε· το τετραρεύμα εντροπίας περιγράφει πώς αυτή υπάρχει, κινείται και παράγεται μέσα στον χωροχρόνο.

Δεν είναι λοιπόν η εκτατικότητα από μόνη της που «μετατρέπει» την εντροπία σε διάνυσμα. Είναι η απαίτηση της σχετικιστικής συναλλοιώτητας, της τοπικότητας και της αιτιότητας που μας οδηγεί στο τετραρεύμα της.

Πηγές

Eckart, C. (1940), ‘The Thermodynamics of Irreversible Processes. III. Relativistic Theory of the Simple Fluid’, Physical Review, 58, 919–924.

Israel, W. and Stewart, J.M. (1979), ‘Transient Relativistic Thermodynamics and Kinetic Theory’, Annals of Physics, 118, 341–372.

Kovtun, P. (2012), ‘Lectures on Hydrodynamic Fluctuations in Relativistic Theories’.

Romatschke, P. (2010), ‘Relativistic Viscous Fluid Dynamics and Non-Equilibrium Entropy’, Classical and Quantum Gravity, 27, 025006.

Λιγότερα

Tsiantis, C. Sample size computing for factorial designs: an extension of the Athenian representative method

Sample size computing for factorial designs: an extension of the Athenian representative method Constantinos Tsiantis 2009, Proceedings of the 15th american conference on … 

Τσιαντής, Κώστας. Ο ΑθηναΪκός νόμος της αντιπροσώπευσης

 Απόδειξη του νόμου.

1. Πιθανότητα ένταξης

Για πληθυσμό μεγέθους $N$ και δείγμα μεγέθους $n$:

$$p_{\text{inc}}=\frac{n}{N}\mathrm{.}$$

2. Ελάχιστο μέγεθος ανά κατηγορία

Ζητάμε για κάθε κατηγορία $i$ του δείγματος το μέγεθος $n_i$ να ικανοποιεί:

$$n_i\ge 1\text{και}{n}_i\ge \frac{1}{p_{\text{inc}}}=\frac{N}{n}\mathrm{.}$$

Άρα συνολικά:

$$n_i\ge \frac{N}{n}\mathrm{.}$$

3. Σχέση πληθυσμού–δείγματος: $w_i={\lambda }_i$

Έστω:

• $w_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στον πληθυσμό,

• ${\lambda }_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στο δείγμα.

Θέτουμε την απαίτηση:

$$w_i={\lambda }_i\mathrm{.}$$

Τότε:

$$n_i={\lambda }_{i}n=w_{i}n\mathrm{.}$$

4. Επιβολή της ανισότητας

Από:

$$n_i\ge \frac{N}{n}$$

και

$$n_i=w_{i}n$$

παίρνουμε:

$$w_{i}n\ge \frac{N}{n}⟹n^2\ge \frac{N}{w_i}\mathrm{.}$$

5. Για όλες τις κατηγορίες

Η απαίτηση πρέπει να ισχύει για όλες τις κατηγορίες $i=1,\dots ,m$:

$$n^2\ge \frac{N}{w_1},n^2\ge \frac{N}{w_2},\dots ,n^2\ge \frac{N}{w_m}\mathrm{.}$$

Πολλαπλασιάζουμε:

$$n^{2m}\ge \frac{N^m}{w_1{w}_2\cdots w_m}\mathrm{.}$$

Παίρνουμε ρίζα $m$-οστή:

$$n^2\ge \frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}\mathrm{.}$$

Και τετραγωνική ρίζα:

$$\boxed{{\displaystyle n\ge \sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}}}$$

που είναι ο Αθηναϊκός Νόμος.

OMOIA ΑΠΟΔΕΙΞΗ

1. Από τους περιορισμούς ένταξης

• Πιθανότητα ένταξης:

$$p_{\text{inc}}=\frac{n}{N}\le 1.$$

• Ελάχιστη αντιπροσώπευση:

$$n_i\ge 1.$$

Άρα, επειδή $p_{\text{inc}}\le 1$, ισχύει:

$$1\le \frac{1}{p_{\text{inc}}}=\frac{N}{n}\mathrm{.}$$

Οπότε:

$$n_i\ge 1\Rightarrow n_i\ge \frac{1}{p_{\text{inc}}}=\frac{N}{n}\mathrm{.}$$

Άρα για κάθε $i$:

$$n_i\ge \frac{N}{n}\mathrm{.}$$

2. Το γινόμενο των $n_i$

Από:

$$n_i\ge \frac{N}{n}\mathrm{\forall }i,$$

παίρνεις:

$$n_1{n}_2\cdots n_m\ge {\left(\frac{N}{n}\right)}^m=\frac{N^m}{n^m}\mathrm{.}$$

Αυτό είναι ένα κατώτατο όριο στο γινόμενο των αντιπροσώπων.

3. Εισάγεις τον Αθηναϊκό Νόμο: $n_i=w_{i}n$

Ο Αθηναϊκός Νόμος θέλει:

$$n_i=w_{i}n\mathrm{.}$$

Τότε:

$$n_1{n}_2\cdots n_m=(w_{1}n)(w_{2}n)\cdots (w_{m}n)=(w_1{w}_2\cdots w_m)n^m\mathrm{.}$$

Άρα, συνδυάζοντας με το κατώτατο όριο:

$$(w_1{w}_2\cdots w_m)n^m\ge \frac{N^m}{n^m}\mathrm{.}$$

Δηλαδή:

$$(w_1{w}_2\cdots w_m)n^{2m}\ge N^m\mathrm{.}$$

4. Λύνεις ως προς $n$

Παίρνεις:

$$n^{2m}\ge \frac{N^m}{w_1{w}_2\cdots w_m}\Rightarrow n^2\ge \frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}\mathrm{.}$$

Άρα:

$$n\ge \sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}\mathrm{.}$$

Και εδώ εμφανίζεται ακριβώς το $n_{\text{ath}}$:

$$\boxed{{\displaystyle n_{\text{ath}}=\sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}}}$$

δηλαδή το ελάχιστο $n$ που:

• σέβεται τους περιορισμούς $n_i\ge 1$, $p_{\text{inc}}\le 1$,

• επιτρέπει $n_i=w_{i}n$ (Αθηναϊκός Νόμος),

• και ικανοποιεί το γινόμενο–φράγμα $\prod n_i\ge N^m\mathrm{/}{n}^m$.

Αυτό είναι η καθαρή, μαθηματική γέφυρα από:

$$n_i\ge 1,p_{\text{inc}}=n\mathrm{/}N,n_i\ge N\mathrm{/}n$$

μέχρι:

$$n_i=w_{i}n,n_{\text{ath}}=\sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}\mathrm{.}$$

$$\mathrm{<br>}$$

$$\mathrm{<br>}$$

$$\mathrm{<b>{\rm O}\; {\rm A}\Theta {\rm H}{\rm N}{\rm A}{\rm I}{\rm K}{\rm O}\Sigma \; {\rm N}{\rm O}{\rm M}{\rm O}\Sigma \; {\rm M}{\rm E}\Gamma {\rm I}\Sigma {\rm T}{\rm O}\Pi {\rm O}{\rm I}{\rm E}{\rm I} \; {\rm T}{\rm H}{\rm N}\; {\rm Y}\Pi {\rm E}{\rm P}\Gamma {\rm E}\Omega {\rm M}{\rm E}{\rm T}{\rm P}{\rm I}{\rm K}Ή\; \Pi {\rm I}\Theta {\rm A}{\rm N}{\rm O}{\rm T}{\rm H}{\rm T}{\rm A} </b>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$$

1. Η υπεργεωμετρική πιθανότητα

Πληθυσμός $N$, κλάσεις $1,\dots ,m$ με μεγέθη $N_i$, δείγμα μεγέθους $n$ χωρίς επανατοποθέτηση, με $n_i$ από κάθε κλάση.

Η πολυδιάστατη υπεργεωμετρική πιθανότητα είναι:

$$P(n_1,\dots ,n_m)=\frac{{\displaystyle \prod _{i=1}^m\left(\genfrac{}{}{0px}{}{N_i}{n_i}\right)}}{{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N}{n}\right)}}\mathrm{.}$$

Θέλουμε να βρούμε τα $n_i$ που μεγιστοποιούν το $P$, υπό τον περιορισμό:

$$\sum _{i=1}^m{n}_i=n\mathrm{.}$$

2. Μεγιστοποίηση ως προς $n_i$: αναλογική κατανομή

Παίρνουμε λογάριθμο:

$$\log P=\sum _{i=1}^m\log \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N_i}{n_i}\right)-\log \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N}{n}\right)\mathrm{.}$$

Το δεύτερο όρο δεν εξαρτάται από τα $n_i$, άρα για τη μεγιστοποίηση ως προς $n_i$ αρκεί να μεγιστοποιήσουμε:

$$L=\sum _{i=1}^m\log \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N_i}{n_i}\right)\text{με περιορισμ}\acute{\text{ο}}\sum _{i=1}^m{n}_i=n\mathrm{.}$$

Χρησιμοποιούμε Lagrange multiplier $\lambda$ και Stirling (ή απευθείας παραγώγιση της $\log \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N_i}{n_i}\right)$)· το κλασικό αποτέλεσμα είναι:

$$\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{n}_i}[\log \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N_i}{n_i}\right)-\lambda n_i]=0\Rightarrow \frac{n_i}{N_i}=\text{σταθερ}\acute{\text{α}}\mathrm{.}$$

Ο περιορισμός $\sum n_i=n$ δίνει ότι η σταθερά είναι $\frac{n}{N}$, άρα:

$$\frac{n_i}{N_i}=\frac{n}{N}\Rightarrow n_i=\frac{N_i}{N}n\mathrm{.}$$

Συμπέρασμα 1: η σύνθεση που μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική πιθανότητα έχει αυστηρά αναλογική κατανομή:

$$n_i=\frac{N_i}{N}n\mathrm{.}$$

3. Σύνδεση με τον Αθηναϊκό Νόμο: $n_i=w_{i}n$

Ο Αθηναϊκός Νόμος θέτει:

$$n_i=w_i{n}_{\text{ath}}\mathrm{.}$$

Για να μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική, πρέπει αυτή η μορφή να συμπίπτει με:

$$n_i=\frac{N_i}{N}n\mathrm{.}$$

Άρα, για $n=n_{\text{ath}}$, απαιτείται:

$$w_i=\frac{N_i}{N}\text{για κ}\acute{\text{α}}\text{θε }i\mathrm{.}$$

Δηλαδή τα weights του Αθηναϊκού Νόμου είναι αναλογικά προς τα μεγέθη των κλάσεων. Με αυτή την επιλογή $w_i$, η μορφή $n_i=w_i{n}_{\text{ath}}$ είναι ακριβώς η σύνθεση που μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική πιθανότητα.

Συμπέρασμα 2: για δεδομένο συνολικό $n$, ο Αθηναϊκός Νόμος ως προς τα $n_i$ (με $w_i=N_i\mathrm{/}N$) μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική πιθανότητα.

4. Τι γίνεται με το ίδιο το $n_{\text{ath}}$

Η υπεργεωμετρική μεγιστοποίηση ως προς τα $n_i$ δεν καθορίζει το ίδιο το $n$· δίνει μόνο τη μορφή:

$$n_i=\frac{N_i}{N}n\mathrm{.}$$

Το $n_{\text{ath}}=\sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}$ προκύπτει όταν προσθέσεις:

• τους περιορισμούς $n_i\ge 1$, $n\ge m$, $p_{\text{inc}}=n\mathrm{/}N>0$,

• την απαίτηση $n_i\ge N\mathrm{/}n$,

• και τη μορφή $n_i=w_{i}n$,

που οδηγούν στο:

$$(w_1{w}_2\cdots w_m)n^{2m}\ge N^m\Rightarrow n\ge \sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}\mathrm{.}$$

Ορίζοντας αυτή την ελάχιστη τιμή ως $n_{\text{ath}}$, παίρνεις:

• ως προς τα $n_i$: ο Αθηναϊκός Νόμος μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική πιθανότητα (αναλογική κατανομή),

• ως προς το $n$: επιλέγει το ελάχιστο $n$ που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς αντιπροσώπευσης (δομή + μέγεθος).

Άρα, ναι: ο Αθηναϊκός Νόμος, με $w_i=N_i\mathrm{/}N$ και $n=n_{\text{ath}}$, δίνει τη σύνθεση $(n_1,\dots ,n_m)$ που μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική πιθανότητα, υπό τους φυσικούς περιορισμούς της αντιπροσώπευσης.

Ακολουθεί η τελική, ελεγμένη απόδειξη.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΑΘΗΝΑΪΚΟΥ ΝΟΜΟΥ

1. Πιθανότητα ένταξης

Για πληθυσμό μεγέθους $N$ και δείγμα μεγέθους $n$:

$$p_{\text{inc}}=\frac{n}{N}\le 1.$$

Άρα:

$$1\le \frac{1}{p_{\text{inc}}}=\frac{N}{n}\mathrm{.}$$

2. Ελάχιστη αντιπροσώπευση ανά κατηγορία

Απαιτούμε:

$$n_i\ge 1.$$

Εφόσον $1\le N\mathrm{/}n$, παίρνουμε:

$$n_i\ge 1\Rightarrow n_i\ge \frac{N}{n}\mathrm{.}$$

Αυτό είναι το κατώτατο όριο για κάθε κατηγορία.

3. Ορθή αντιπροσώπευση της δομής

Θέτουμε:

• $w_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στον πληθυσμό,

• ${\lambda }_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στο δείγμα.

Απαίτηση:

$${\lambda }_i=w_i\mathrm{.}$$

Άρα:

$$n_i={\lambda }_{i}n=w_{i}n\mathrm{.}$$

4. Συνδυασμός των δύο απαιτήσεων

Από τα παραπάνω:

$$w_{i}n\ge \frac{N}{n}\text{για κ}\acute{\text{α}}\text{θε }i\mathrm{.}$$

5. Πολλαπλασιασμός για όλες τις κατηγορίες

Πολλαπλασιάζουμε τις $m$ ανισότητες:

$$(w_{1}n)(w_{2}n)\cdots (w_{m}n)\ge {\left(\frac{N}{n}\right)}^m\mathrm{.}$$

Δηλαδή:

$$(w_1{w}_2\cdots w_m)n^m\ge \frac{N^m}{n^m}\mathrm{.}$$

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $n^m$:

$$(w_1{w}_2\cdots w_m)n^{2m}\ge N^m\mathrm{.}$$

6. Λύση ως προς $n$

Διαίρεση:

$$n^{2m}\ge \frac{N^m}{w_1{w}_2\cdots w_m}\mathrm{.}$$

m‑οστή ρίζα:

$$n^2\ge \frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}\mathrm{.}$$

Τετραγωνική ρίζα:

$$\boxed{{\displaystyle n_{\text{ath}}=\sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}}}\mathrm{.}$$

ΤΕΛΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Ο Αθηναϊκός Νόμος προκύπτει αυστηρά από:

1. ορθή αντιπροσώπευση του μεγέθους (μέσω $p_{\text{inc}}$),

2. ορθή αντιπροσώπευση της δομής (μέσω $n_i=w_{i}n$),

3. φυσικούς περιορισμούς δειγματοληψίας ($n_i\ge 1$).

Και δίνει:

$$n_{\text{ath}}=\sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}},n_i=w_i{n}_{\text{ath}}\mathrm{.}$$

ΠΗΓΗ. 

Tsiantis,C.N.  https://www.academia.edu/115626926/The_mathematical_law_of_the_Athenian_participatory_Democracy

Tsiantis, C.N. (2008), "Computing the sample size of multivariate populations: the Athenian law of representation Calculating_the_sample_size_of_multivari (4).pdf