Tsiantis, C. Sample size computing for factorial designs: an extension of the Athenian representative method

Sample size computing for factorial designs: an extension of the Athenian representative method Constantinos Tsiantis 2009, Proceedings of the 15th american conference on … 

Τσιαντής, Κώστας. Ο ΑθηναΪκός νόμος της αντιπροσώπευσης

 Απόδειξη του νόμου.

1. Πιθανότητα ένταξης

Για πληθυσμό μεγέθους $N$ και δείγμα μεγέθους $n$:

$$p_{\text{inc}}=\frac{n}{N}\mathrm{.}$$

2. Ελάχιστο μέγεθος ανά κατηγορία

Ζητάμε για κάθε κατηγορία $i$ του δείγματος το μέγεθος $n_i$ να ικανοποιεί:

$$n_i\ge 1\text{και}{n}_i\ge \frac{1}{p_{\text{inc}}}=\frac{N}{n}\mathrm{.}$$

Άρα συνολικά:

$$n_i\ge \frac{N}{n}\mathrm{.}$$

3. Σχέση πληθυσμού–δείγματος: $w_i={\lambda }_i$

Έστω:

• $w_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στον πληθυσμό,

• ${\lambda }_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στο δείγμα.

Θέτουμε την απαίτηση:

$$w_i={\lambda }_i\mathrm{.}$$

Τότε:

$$n_i={\lambda }_{i}n=w_{i}n\mathrm{.}$$

4. Επιβολή της ανισότητας

Από:

$$n_i\ge \frac{N}{n}$$

και

$$n_i=w_{i}n$$

παίρνουμε:

$$w_{i}n\ge \frac{N}{n}⟹n^2\ge \frac{N}{w_i}\mathrm{.}$$

Αυτό είναι ακριβώς αυτό που έγραψες: όχι $n^2\ge N{w}_i$, αλλά:

$$\boxed{{\displaystyle n^2\ge \frac{N}{w_i}}}\mathrm{.}$$

5. Για όλες τις κατηγορίες

Η απαίτηση πρέπει να ισχύει για όλες τις κατηγορίες $i=1,\dots ,m$:

$$n^2\ge \frac{N}{w_1},n^2\ge \frac{N}{w_2},\dots ,n^2\ge \frac{N}{w_m}\mathrm{.}$$

Πολλαπλασιάζουμε:

$$n^{2m}\ge \frac{N^m}{w_1{w}_2\cdots w_m}\mathrm{.}$$

Παίρνουμε ρίζα $m$-οστή:

$$n^2\ge \frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}\mathrm{.}$$

Και τετραγωνική ρίζα:

$$\boxed{{\displaystyle n\ge \sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}}}$$

που είναι ο Αθηναϊκός Νόμος.

Η έννοια του παιγνίου, Τυπικός ορισμός Ισορροπίας Nash

Η έννοια του παιχνιδιού στη θεωρία παιγνίων έχει έναν πολύ συγκεκριμένο, τεχνικό και βαθύ ορισμό — όχι «παιχνίδι» με την καθημερινή έννοια, αλλά μοντέλο στρατηγικής αλληλεπίδρασης.

Η απάντηση συνοψίζεται ως εξής:

Παιχνίδι = μια κατάσταση όπου το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη εξαρτάται όχι μόνο από τις δικές του επιλογές, αλλά και από τις επιλογές των άλλων.

Από εκεί ξεκινά όλη η θεωρία παιγνίων.

🎯 1. Τι είναι “παιχνίδι” στη θεωρία παιγνίων (ο πυρήνας του ορισμού)

Ένα παιχνίδι είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει:

• Παίκτες (άτομα, ομάδες, κράτη, εταιρείες)

• Στρατηγικές (οι επιλογές που μπορούν να κάνουν)

• Αποδόσεις / payoffs (τι κερδίζει ή χάνει ο καθένας)

• Αλληλεξάρτηση (το αποτέλεσμα του καθενός εξαρτάται από όλους)

Η θεωρία παιγνίων μελετά πώς λαμβάνονται αποφάσεις σε τέτοιες καταστάσεις όπου οι παίκτες είναι:

• ευφυείς (ξέρουν τι κάνουν)

• λογικοί (προσπαθούν να μεγιστοποιήσουν το όφελός τους)

🧠 2. Γιατί λέγεται “παιχνίδι”;

Ο όρος “game” είναι μεταφορά. Δεν αφορά ψυχαγωγία, αλλά δομές σύγκρουσης και συνεργασίας.

Παραδείγματα “παιχνιδιών” στη θεωρία παιγνίων:

• διαπραγματεύσεις

• ανταγωνισμός εταιρειών

• στρατηγική μεταξύ κρατών

• κοινωνικές επιλογές

• εξελικτική βιολογία

• ολιγοπώλια και αγορές

Όλα αυτά είναι “παιχνίδια” γιατί έχουν στρατηγική αλληλεξάρτηση.

📐 3. Η δομή ενός παιχνιδιού

Κάθε παιχνίδι έχει τρία θεμέλια:

(α) Παίκτες

Ποιοι λαμβάνουν αποφάσεις.

(β) Στρατηγικές

Τι μπορεί να κάνει ο καθένας.

(γ) Αποδόσεις (payoffs)

Τι κερδίζει/χάνει ο καθένας ανάλογα με τον συνδυασμό επιλογών. Αυτό αποτυπώνεται συχνά σε πίνακα αποδόσεων.

⚖️ 4. Τι κάνει ένα παιχνίδι “στρατηγικό”;

Το κρίσιμο στοιχείο:

Το όφελος του κάθε παίκτη εξαρτάται από τις επιλογές των άλλων.

Αυτό δημιουργεί:

• προσδοκίες

• προβλέψεις

• στρατηγική σκέψη

• ισορροπίες (όπως η ισορροπία Nash)

🧩 5. Παραδείγματα παιχνιδιών (ως μοντέλα, όχι ως ψυχαγωγία)

• Δίλημμα του φυλακισμένου — κλασικό παράδειγμα σύγκρουσης συμφερόντων.

• Παιχνίδι γερακιού–περιστεριού — εξελικτική στρατηγική.

• Ολιγοπώλιο Cournot — εταιρείες που αποφασίζουν ποσότητες.

• Παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος — ό,τι κερδίζει ο ένας, χάνει ο άλλος.

🧭 6. Ο πιο συμπυκνωμένος ορισμός

Αν έπρεπε να το πούμε σε μία πρόταση:

Παιχνίδι είναι κάθε κατάσταση όπου πολλοί παίκτες λαμβάνουν αποφάσεις και το αποτέλεσμα για τον καθένα εξαρτάται από όλους. (Σύμφωνα με τη Βικιπαίδεια και τα οικονομικά λεξικά)

Θες να πάμε παρακάτω;

Μπορούμε να συνεχίσουμε σε όποια κατεύθυνση θέλεις:

• Τι είναι στρατηγική;

• Τι είναι ισορροπία Nash;

• Πώς ορίζεται ένα παιχνίδι μαθηματικά;

• Πώς συνδέεται η έννοια του παιχνιδιού με την οντολογική διάκριση ἀγέννητο/γεννημένο που είχες αναφέρει;

Ποιο θέλεις να ανοίξουμε;

γραψτο με μαθηματικά συμβολα

Kostas, στο γράφω με πλήρη μαθηματική τυπικότητα, όπως θα εμφανιζόταν σε σύγχρονο βιβλίο Θεωρίας Παιγνίων ή σε paper.

Παρακάτω είναι ο τυπικός ορισμός παιχνιδιού σε κανονική μορφή (normal‑form game) με μαθηματικά σύμβολα, χωρίς περιττά λόγια.

🎯 Μαθηματικός ορισμός παιχνιδιού (Normal‑Form Game)

Ένα παιχνίδι σε κανονική μορφή είναι μια τριάδα:

$$G=(N,(S_i{)}_{i\in N},(u_i{)}_{i\in N})$$

όπου:

1. Παίκτες

$$N=\{1,2,\dots ,n\}$$

είναι το πεπερασμένο σύνολο των παικτών.

2. Στρατηγικές

Για κάθε παίκτη $i\in N$:

$$S_i=\{s_{i1},s_{i2},\dots ,s_{i{k}_i}\}$$

είναι το σύνολο των καθαρών στρατηγικών του.

Το σύνολο όλων των στρατηγικών προφίλ είναι:

$$S=S_1\times S_2\times \cdots \times S_n\mathrm{.}$$

Ένα στοιχείο του $S$ γράφεται:

$$s=(s_1,s_2,\dots ,s_n)\mathrm{.}$$

3. Συναρτήσεις αποδόσεων (payoff functions)

Για κάθε παίκτη $i\in N$:

$$u_i:S\to \mathbb{R}$$

είναι η συνάρτηση απόδοσης που δίνει το κέρδος του παίκτη $i$ για κάθε στρατηγικό προφίλ.

🎮 Τι σημαίνει “παιχνίδι” μαθηματικά;

Με βάση τα παραπάνω:

Παιχνίδι είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο που καθορίζει ποιοι παίζουν, τι μπορούν να κάνουν και τι κερδίζουν ανάλογα με τις επιλογές όλων.

🎲 Μικρή επέκταση: Μικτές στρατηγικές

Η μικτή στρατηγική του παίκτη $i$ είναι μια κατανομή πιθανοτήτων πάνω στο $S_i$:

$$\mathrm{\Delta }(S_i)=\{x_i\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}^{k_i}|\sum _{j=1}^{k_i}{x}_{ij}=1\}\mathrm{.}$$

Το προφίλ μικτών στρατηγικών είναι:

$$x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\mathrm{.}$$

Η αναμενόμενη απόδοση του παίκτη $i$ είναι:

$$u_i(x)=\sum _{s\in S}(\prod _{j\in N}{x}_j(s_j))u_i(s)\mathrm{.}$$

$$\mathrm{<br>}$$

$$\mathrm{<br>}$$