Το Θεώρημα του Bell:
Φιλοσοφική διαμάχη και πείραμα
Μπορούν δύο σωματίδια, απομακρυσμένα μεταξύ τους, να εμφανίζουν συσχετίσεις ισχυρότερες από οτιδήποτε επιτρέπει η κλασική φυσική; Είχαν άραγε εξαρχής «κρυμμένες» τις απαντήσεις που θα έδιναν σε κάθε πιθανή μέτρηση ή η κβαντική μέτρηση δημιουργεί ένα αποτέλεσμα που προηγουμένως δεν υπήρχε;
Το 1964 ο Βορειοϊρλανδός φυσικός John Stewart Bell μετέτρεψε αυτό το φαινομενικά φιλοσοφικό ερώτημα σε ένα αυστηρό μαθηματικό θεώρημα και, το σημαντικότερο, σε πειραματικά ελέγξιμη πρόβλεψη. Το Θεώρημα του Bell θεωρείται σήμερα μία από τις βαθύτερες ανακαλύψεις στην ιστορία της φυσικής, επειδή προσδιορίζει τι είδους πραγματικότητα μπορεί να υπάρχει πίσω από την κβαντική θεωρία.
Από το παράδοξο EPR στον Bell
Το 1935 οι Albert Einstein, Boris Podolsky και Nathan Rosen διατύπωσαν το περίφημο παράδοξο EPR. Θεώρησαν δύο σωματίδια που είχαν αλληλεπιδράσει και βρίσκονταν σε κοινή κβαντική κατάσταση. Ακόμη και όταν απομακρύνονταν, η μέτρηση του ενός επέτρεπε την πρόβλεψη του αποτελέσματος μιας μέτρησης στο άλλο.
Οι τρεις φυσικοί υποστήριξαν ότι, εφόσον μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα μια ιδιότητα του δεύτερου σωματιδίου χωρίς να το αγγίξουμε, η ιδιότητα αυτή πρέπει να αποτελεί «στοιχείο της φυσικής πραγματικότητας». Κατέληξαν λοιπόν ότι η κυματοσυνάρτηση δεν παρέχει πλήρη περιγραφή της φύσης και ότι ίσως υπάρχουν βαθύτερες, άγνωστες μεταβλητές.
Ο Einstein επέμενε επίσης στην τοπικότητα: ένα γεγονός σε κάποιο σημείο δεν μπορεί να επηρεάζει ακαριαία ένα άλλο, χωρικά απομακρυσμένο γεγονός. Καμία φυσική επίδραση ή πληροφορία δεν πρέπει να διαδίδεται ταχύτερα από το φως.
Για σχεδόν τριάντα χρόνια η διαμάχη έμοιαζε να αφορά κυρίως την ερμηνεία της κβαντομηχανικής. Ο Bell απέδειξε ότι οι δύο εικόνες του κόσμου, η κβαντική και η τοπική θεωρία κρυφών μεταβλητών, οδηγούν σε διαφορετικές αριθμητικές προβλέψεις.
Το πείραμα με τα δύο σωματίδια
Μια πηγή παράγει ζεύγη διεμπλεγμένων σωματιδίων σε κατάσταση συνολικού σπιν μηδέν. Το ένα στέλνεται προς την Alice και το άλλο προς τον Bob, οι οποίοι βρίσκονται σε μεγάλη απόσταση.
Η Alice μπορεί να επιλέξει ανάμεσα σε δύο διευθύνσεις μέτρησης, a και a′. Ο Bob επιλέγει αντίστοιχα ανάμεσα στις b και b′. Κάθε μέτρηση δίνει ένα από δύο αποτελέσματα, τα οποία συμβολίζουμε με +1 και −1.
Όταν οι δύο μετρήσουν το σπιν στην ίδια διεύθυνση, τα αποτελέσματά τους είναι πάντοτε αντίθετα. Το αποτέλεσμα κάθε μεμονωμένης μέτρησης παραμένει τυχαίο, αλλά οι συσχετίσεις των δύο σειρών αποτελεσμάτων είναι εξαιρετικά ακριβείς.
Μια τοπική θεωρία κρυφών μεταβλητών θα μπορούσε να υποθέσει ότι κάθε ζεύγος μεταφέρει από την πηγή ένα κοινό «φύλλο οδηγιών», το οποίο συμβολίζουμε με λ. Οι οδηγίες καθορίζουν ποιο αποτέλεσμα θα εμφανιστεί για κάθε δυνατή κατεύθυνση μέτρησης.
Η τοπικότητα απαιτεί το αποτέλεσμα της Alice, A(a,λ), να μην εξαρτάται από την επιλογή του Bob. Αντίστοιχα, το αποτέλεσμα του Bob, B(b,λ), δεν πρέπει να εξαρτάται από την επιλογή της Alice. Υποθέτουμε επίσης ότι οι επιλογές των δύο ανιχνευτών δεν είχαν προσυνεννοηθεί με την κρυφή μεταβλητή λ.
Η ανισότητα CHSH
Η πιο γνωστή πειραματική μορφή του Θεωρήματος του Bell είναι η ανισότητα CHSH, από τα ονόματα των Clauser, Horne, Shimony και Holt.
Ορίζουμε τη συσχέτιση E(a,b) των αποτελεσμάτων για κάθε ζεύγος κατευθύνσεων και σχηματίζουμε την ποσότητα:
S = E(a,b) + E(a,b′) + E(a′,b) − E(a′,b′)
Για οποιαδήποτε τοπική θεωρία κρυφών μεταβλητών πρέπει να ισχύει:
|S| ≤ 2
Ο λόγος είναι βαθύς αλλά μαθηματικά απλός. Για κάθε ζεύγος σωματιδίων οι τέσσερις πιθανές απαντήσεις έχουν τιμές +1 ή −1. Ο συνδυασμός
A(a)[B(b) + B(b′)] + A(a′)[B(b) − B(b′)]
μπορεί να έχει μόνο την τιμή +2 ή −2. Η στατιστική μέση τιμή πολλών τέτοιων ζευγών δεν μπορεί συνεπώς να ξεπεράσει το 2.
Η κβαντομηχανική προβλέπει κάτι ισχυρότερο. Για δύο σωματίδια σε κατάσταση singlet, η συσχέτιση είναι:
E(a,b) = −cosθ
όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των δύο διευθύνσεων μέτρησης. Με κατάλληλη επιλογή γωνιών προκύπτει:
|S| = 2√2 ≈ 2,828
Η τιμή αυτή υπερβαίνει καθαρά το κλασικό όριο 2. Το ανώτατο κβαντικό όριο 2√2 είναι γνωστό ως όριο του Tsirelson.
Εδώ βρίσκεται η καρδιά του Θεωρήματος του Bell: καμία τοπική θεωρία κρυφών μεταβλητών δεν μπορεί να αναπαραγάγει όλες τις προβλέψεις της κβαντομηχανικής.
Τι έδειξαν τα πειράματα
Το 1972 οι Stuart Freedman και John Clauser πραγματοποίησαν το πρώτο πειστικό πείραμα και βρήκαν παραβίαση μιας ανισότητας Bell, σε συμφωνία με την κβαντομηχανική.
Το 1982 ο Alain Aspect και οι συνεργάτες του χρησιμοποίησαν ταχέως μεταβαλλόμενους αναλυτές πόλωσης. Οι ρυθμίσεις άλλαζαν ενώ τα φωτόνια βρίσκονταν ήδη σε πτήση, περιορίζοντας δραστικά την πιθανότητα κάποια συνηθισμένη υποφωτεινή επικοινωνία να εξηγεί τις συσχετίσεις.
Τα πρώτα πειράματα άφηναν ορισμένα «παραθυράκια». Ίσως οι ανιχνευτές κατέγραφαν μόνο ένα μη αντιπροσωπευτικό μέρος των φωτονίων ή ίσως οι δύο πλευρές προλάβαιναν να ανταλλάξουν κάποιο άγνωστο σήμα.
Το 2015 πραγματοποιήθηκαν ανεξάρτητα πειράματα χωρίς τα κύρια αυτά παραθυράκια. Η ομάδα του Bas Hensen χρησιμοποίησε ηλεκτρονικά σπιν σε κέντρα αζώτου-κενού μέσα σε διαμάντια, χωρισμένα κατά 1,3 χιλιόμετρα. Παράλληλα, οι ομάδες των Marissa Giustina και Lynden Shalm πραγματοποίησαν ισχυρούς ελέγχους με διεμπλεγμένα φωτόνια. Τα αποτελέσματα παραβίασαν τις ανισότητες Bell κλείνοντας ταυτόχρονα τα βασικά παραθυράκια τοπικότητας και ανίχνευσης.
Το 2022 το Νόμπελ Φυσικής απονεμήθηκε στους John Clauser, Alain Aspect και Anton Zeilinger για τα πειράματα με διεμπλεγμένα φωτόνια, την επιβεβαίωση της παραβίασης των ανισοτήτων Bell και τη θεμελίωση της κβαντικής επιστήμης της πληροφορίας.
Τι ακριβώς αποκλείστηκε;
Η συχνή διατύπωση ότι «ο Bell απέδειξε πως η πραγματικότητα δεν υπάρχει» είναι λανθασμένη. Εξίσου παραπλανητική είναι η ιδέα ότι ο Bell απέκλεισε κάθε θεωρία κρυφών μεταβλητών.
Αυτό που αποκλείεται είναι ολόκληρη η κατηγορία θεωριών στις οποίες:
τα αποτελέσματα εξηγούνται από κοινές μεταβλητές του παρελθόντος,
τα γεγονότα στη μία πλευρά δεν εξαρτώνται από την επιλογή μέτρησης στην άλλη,
οι επιλογές των μετρήσεων είναι στατιστικά ανεξάρτητες από τις κρυφές μεταβλητές.
Η έκφραση «κατέρρευσε ο τοπικός ρεαλισμός» χρησιμοποιείται συχνά ως συντομογραφία, αλλά χρειάζεται προσοχή. Το θεώρημα στοχεύει με ακρίβεια την τοπική αιτιότητα του Bell μαζί με την ανεξαρτησία των επιλογών μέτρησης. Δεν αποδεικνύει ότι η πραγματικότητα εξαρτάται από την ανθρώπινη συνείδηση ούτε ότι τίποτε δεν υπάρχει πριν το παρατηρήσουμε.
Μια θεωρία μπορεί να διατηρήσει κρυφές μεταβλητές μόνο αν δεχθεί κάποια μορφή μη τοπικότητας, όπως συμβαίνει στη μηχανική Bohm. Ο υπερντετερμινισμός εγκαταλείπει την ανεξαρτησία των επιλογών μέτρησης, ενώ οι οπισθοαιτιακές προσεγγίσεις αναθεωρούν τη συνηθισμένη κατεύθυνση της αιτιότητας. Άλλες ερμηνείες εγκαταλείπουν την ιδέα ότι κάθε μέτρηση έχει μία προϋπάρχουσα, μοναδική απάντηση. Το Θεώρημα του Bell θέτει το όριο, αλλά δεν επιλέγει από μόνο του μία συγκεκριμένη ερμηνεία της κβαντομηχανικής.
Υπάρχει υπερφωτεινή επικοινωνία;
Οι συσχετίσεις Bell είναι μη τοπικές με την τεχνική έννοια, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αποστολή μηνύματος ταχύτερα από το φως.
Η Alice βλέπει μια εντελώς τυχαία ακολουθία αποτελεσμάτων +1 και −1. Δεν μπορεί να γνωρίζει ποια μέτρηση έκανε ο Bob ούτε να ελέγξει το δικό της αποτέλεσμα. Οι κβαντικές συσχετίσεις αποκαλύπτονται μόνο όταν οι δύο πλευρές συγκρίνουν αργότερα τα αρχεία τους μέσω ενός συνηθισμένου καναλιού επικοινωνίας, το οποίο περιορίζεται από την ταχύτητα του φωτός.
Επομένως, η μη τοπικότητα του Bell δεν αποτελεί μεταφορά ύλης, ενέργειας ή ελέγξιμης πληροφορίας με υπερφωτεινή ταχύτητα. Υπάρχει πραγματική ένταση ανάμεσα στην κβαντική θεωρία και στην κλασική έννοια της τοπικής αιτιότητας, χωρίς επιχειρησιακή παραβίαση της Ειδικής Σχετικότητας.
Γιατί το Θεώρημα του Bell είναι τόσο σημαντικό;
Το Θεώρημα του Bell αποκαλύπτει ότι η κβαντική διεμπλοκή δεν αποτελεί απλώς ατελή γνώση για ιδιότητες που βρίσκονταν ήδη γραμμένες μέσα στα σωματίδια. Οι συσχετίσεις της υπερβαίνουν όσα μπορεί να δημιουργήσει οποιοσδήποτε τοπικός μηχανισμός κοινών οδηγιών.
Αυτή η ανακάλυψη αποτελεί σήμερα θεμέλιο της πιστοποιημένης παραγωγής πραγματικά τυχαίων αριθμών, της κβαντικής κρυπτογραφίας ανεξάρτητης από τη λεπτομερή λειτουργία των συσκευών και της επαλήθευσης κβαντικών συστημάτων. Κάθε συσχέτιση Bell απαιτεί διεμπλοκή, αν και δεν παραβιάζει κάθε διεμπλεγμένη κατάσταση κάποια συγκεκριμένη ανισότητα Bell.
Το βαθύτερο μήνυμα του Bell είναι συγχρόνως αυστηρό και ταπεινό. Το θεώρημά του δεν μας λέει οριστικά τι είναι η κβαντική πραγματικότητα. Μας αποδεικνύει, όμως, τι δεν μπορεί να είναι: ένας κόσμος αποτελούμενος από απολύτως τοπικά αντικείμενα, τα οποία μεταφέρουν από την αρχή προκαθορισμένες απαντήσεις για κάθε δυνατή μέτρηση.
Η φύση εμφανίζει μια ενότητα που ο κλασικός τρόπος σκέψης αδυνατεί να χωρέσει. Όχι ως υπερφωτεινό μήνυμα, αλλά ως δομή συσχετίσεων βαθύτερη από την τοπική κλασική αιτιότητα.
Πηγές
Einstein, A., Podolsky, B. and Rosen, N. (1935), ‘Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?’, Physical Review, 47, 777–780.
Bell, J.S. (1964), ‘On the Einstein Podolsky Rosen Paradox’, Physics Physique Fizika, 1, 195–200.
Clauser, J.F., Horne, M.A., Shimony, A. and Holt, R.A. (1969), ‘Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories’, Physical Review Letters, 23, 880–884.
Freedman, S.J. and Clauser, J.F. (1972), ‘Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories’, Physical Review Letters, 28, 938–941.
Aspect, A., Dalibard, J. and Roger, G. (1982), ‘Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analyzers’, Physical Review Letters, 49, 1804–1807.
Hensen, B. et al. (2015), ‘Loophole-Free Bell Inequality Violation Using Electron Spins Separated by 1.3 Kilometres’, Nature, 526, 682–686.
Giustina, M. et al. (2015), ‘Significant-Loophole-Free Test of Bell’s Theorem with Entangled Photons’, Physical Review Letters, 115, 250401.
Shalm, L.K. et al. (2015), ‘Strong Loophole-Free Test of Local Realism’, Physical Review Letters, 115, 250402.
Royal Swedish Academy of Sciences (2022), ‘For Experiments with Entangled Photons, Establishing the Violation of Bell Inequalities and Pioneering Quantum Information Science’, Scientific Background to the Nobel Prize in Physics 2022.
Λιγότερα
