Η ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑ; Η ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Στην κλασική θερμοδυναμική μαθαίνουμε ότι η εντροπία S είναι ένα βαθμωτό και εκτατικό μέγεθος. Είναι βαθμωτό επειδή δεν έχει κατεύθυνση και εκτατικό επειδή, όταν ενώνουμε δύο ανεξάρτητα συστήματα, οι εντροπίες τους προστίθενται:
Sολική = S₁ + S₂.
Όμως στη θεωρία της σχετικότητας εμφανίζεται μια βαθύτερη δομή. Η εντροπία δεν περιγράφεται πλέον μόνο ως ένας συνολικός αριθμός. Πρέπει επίσης να γνωρίζουμε πώς κατανέμεται, πώς κινείται και πώς παράγεται σε κάθε περιοχή του χωροχρόνου. Για τον σκοπό αυτό εισάγεται το τετραρεύμα εντροπίας, ένα τετραδιάνυσμα που συνήθως συμβολίζεται με Sᵘ.
Επομένως, η ακριβής διατύπωση δεν είναι ότι «η εντροπία είναι διάνυσμα», αλλά ότι:
η τοπική πυκνότητα και η ροή της εντροπίας ενώνονται στη σχετικότητα σε ένα τετραδιάνυσμα.
Γιατί δεν αρκεί ένας απλός αριθμός;
Στη νευτώνεια φυσική μπορούμε να μιλάμε για τη συνολική εντροπία ενός σώματος σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, επειδή θεωρούμε ότι υπάρχει ένας παγκόσμιος και κοινός χρόνος για όλους τους παρατηρητές.
Στη σχετικότητα, όμως, δύο παρατηρητές που κινούνται μεταξύ τους δεν συμφωνούν γενικά για το ποια γεγονότα συμβαίνουν ταυτόχρονα. Έτσι, ακόμη και η φράση «η συνολική εντροπία του συστήματος τώρα» απαιτεί να προσδιορίσουμε πάνω σε ποια χωρική τομή του χωροχρόνου γίνεται η μέτρηση.
Η εντροπία πρέπει επομένως να αντιμετωπιστεί τοπικά: κάθε μικρό στοιχείο ενός ρευστού έχει μια πυκνότητα εντροπίας και μεταφέρει αυτή την εντροπία καθώς κινείται. Η σχετικιστική υδροδυναμική συνδυάζει αυτές τις πληροφορίες σε ένα τετραρεύμα, όπως ακριβώς κάνει με το ηλεκτρικό φορτίο ή τον αριθμό των σωματιδίων.
Το τετραρεύμα εντροπίας
Για ένα ιδανικό σχετικιστικό ρευστό, χωρίς θερμική αγωγή ή ιξώδεις απώλειες, το τετραρεύμα εντροπίας γράφεται:
Sᵘ = s uᵘ,
όπου:
s είναι η πυκνότητα εντροπίας στο σύστημα αναφοράς που κινείται μαζί με το ρευστό,
uᵘ είναι η τετραταχύτητα του ρευστού.
Στο τοπικό σύστημα ηρεμίας του ρευστού, το χωρικό μέρος του τετραρεύματος μηδενίζεται. Υπάρχει μόνο η πυκνότητα εντροπίας. Για έναν παρατηρητή ως προς τον οποίο το ρευστό κινείται, εμφανίζονται και χωρικές συνιστώσες: το ρευστό μεταφέρει εντροπία από μια περιοχή σε μια άλλη.
Η χρονική συνιστώσα συνδέεται με την πυκνότητα εντροπίας, ενώ οι τρεις χωρικές συνιστώσες περιγράφουν τη ροή της. Η σχετικότητα ενοποιεί έτσι την ποσότητα και τη μεταφορά της σε ένα ενιαίο γεωμετρικό αντικείμενο.
Η σχετικιστική μορφή του δεύτερου νόμου
Ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής λέει ότι η συνολική εντροπία ενός απομονωμένου συστήματος δεν μπορεί να μειώνεται. Στη σχετικιστική φυσική η τοπική και συναλλοίωτη μορφή του γράφεται:
∇ᵤSᵘ ≥ 0.
Η ποσότητα ∇ᵤSᵘ εκφράζει την τοπική παραγωγή εντροπίας ανά μονάδα χωροχρονικού όγκου.
Για ένα ιδανικό και αντιστρεπτό ρευστό:
∇ᵤSᵘ = 0.
Η εντροπία απλώς μεταφέρεται μαζί με την ύλη, χωρίς να παράγεται.
Για ένα πραγματικό ρευστό με ιξώδες, θερμική αγωγή, διάχυση ή άλλες μη αντιστρεπτές διεργασίες:
∇ᵤSᵘ > 0.
Παράγεται νέα εντροπία. Με αυτόν τον τρόπο, ο δεύτερος νόμος δεν διατυπώνεται απλώς ως μια χρονική αύξηση ενός συνολικού αριθμού, αλλά ως ένας τοπικός νόμος που ισχύει σε κάθε σημείο του χωροχρόνου. Η απαίτηση της μη αρνητικής απόκλισης του τετραρεύματος χρησιμοποιείται μάλιστα για να περιορίζει τις επιτρεπτές εξισώσεις της σχετικιστικής υδροδυναμικής.
Τι συμβαίνει όταν υπάρχει θερμική ροή;
Σε ένα μη ιδανικό ρευστό, η εντροπία δεν μεταφέρεται μόνο από την κίνηση της ύλης. Μπορεί να υπάρχει θερμική ροή, διάχυση και ιξώδης διασπορά. Σε μια απλή προσέγγιση το τετραρεύμα περιλαμβάνει έναν πρόσθετο όρο της μορφής:
Sᵘ = s uᵘ + qᵘ/T + διορθώσεις,
όπου qᵘ είναι η σχετικιστική ροή θερμότητας και T η θερμοκρασία.
Οι θεωρίες Eckart και Israel–Stewart ανέπτυξαν αυτή την ιδέα, με τη θεωρία Israel–Stewart να εισάγει χρόνους χαλάρωσης ώστε η διάδοση των θερμικών και ιξωδών διαταραχών να παραμένει αιτιακή και να μην εμφανίζονται στιγμιαίες επιδράσεις σε αυθαίρετα μεγάλες αποστάσεις.
Ποια είναι η σχέση με την εκτατικότητα;
Η εκτατικότητα της εντροπίας είναι σημαντική, αλλά δεν την καθιστά διάνυσμα. Και ο όγκος, η μάζα ή ο αριθμός των σωματιδίων είναι εκτατικά μεγέθη, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι διανύσματα.
Η εκτατικότητα σημαίνει ότι η συνολική εντροπία προκύπτει από την πρόσθεση των τοπικών συνεισφορών. Στη σχετικότητα αυτή η πρόσθεση πραγματοποιείται με ολοκλήρωση του τετραρεύματος πάνω σε μια χωρικού τύπου υπερεπιφάνεια Σ:
S[Σ] = ∫Σ Sᵘ dΣᵤ.
Το dΣᵤ περιγράφει τον προσανατολισμό της τρισδιάστατης τομής μέσα στον τετραδιάστατο χωροχρόνο. Η συστολή του με το τετραρεύμα δίνει τελικά έναν βαθμωτό αριθμό: τη συνολική εντροπία που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη τομή.
Αν μεταξύ δύο τέτοιων τομών δεν παράγεται εντροπία και δεν υπάρχει ροή από τα όρια, η συνολική εντροπία παραμένει ίδια. Αν υπάρχουν μη αντιστρεπτές διεργασίες, η μεταγενέστερη τομή περιέχει περισσότερη εντροπία.
Μια σημαντική επιφύλαξη
Η συνηθισμένη εκτατικότητα ισχύει καλά για συστήματα με βραχυ-range αλληλεπιδράσεις και ασθενή βαρύτητα. Στα ισχυρά αυτοβαρυτικά συστήματα η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη. Η εντροπία μιας μαύρης τρύπας, για παράδειγμα, είναι ανάλογη προς το εμβαδόν του ορίζοντα και όχι προς τον όγκο της. Επομένως, η βαρύτητα δείχνει ότι η εντροπία δεν είναι πάντοτε εκτατική με την απλή θερμοδυναμική έννοια.
Συμπέρασμα
Η εντροπία S, ως συνολική φυσική ποσότητα, είναι βαθμωτό μέγεθος. Η πυκνότητα και η ροή της, όμως, σχηματίζουν στη σχετικότητα το τετραρεύμα εντροπίας Sᵘ.
Αυτή η διάκριση είναι θεμελιώδης:
η εντροπία είναι αυτό που μετράμε· το τετραρεύμα εντροπίας περιγράφει πώς αυτή υπάρχει, κινείται και παράγεται μέσα στον χωροχρόνο.
Δεν είναι λοιπόν η εκτατικότητα από μόνη της που «μετατρέπει» την εντροπία σε διάνυσμα. Είναι η απαίτηση της σχετικιστικής συναλλοιώτητας, της τοπικότητας και της αιτιότητας που μας οδηγεί στο τετραρεύμα της.
Πηγές
Eckart, C. (1940), ‘The Thermodynamics of Irreversible Processes. III. Relativistic Theory of the Simple Fluid’, Physical Review, 58, 919–924.
Israel, W. and Stewart, J.M. (1979), ‘Transient Relativistic Thermodynamics and Kinetic Theory’, Annals of Physics, 118, 341–372.
Kovtun, P. (2012), ‘Lectures on Hydrodynamic Fluctuations in Relativistic Theories’.
Romatschke, P. (2010), ‘Relativistic Viscous Fluid Dynamics and Non-Equilibrium Entropy’, Classical and Quantum Gravity, 27, 025006.
Στην κλασική θερμοδυναμική μαθαίνουμε ότι η εντροπία S είναι ένα βαθμωτό και εκτατικό μέγεθος. Είναι βαθμωτό επειδή δεν έχει κατεύθυνση και εκτατικό επειδή, όταν ενώνουμε δύο ανεξάρτητα συστήματα, οι εντροπίες τους προστίθενται:
Sολική = S₁ + S₂.
Όμως στη θεωρία της σχετικότητας εμφανίζεται μια βαθύτερη δομή. Η εντροπία δεν περιγράφεται πλέον μόνο ως ένας συνολικός αριθμός. Πρέπει επίσης να γνωρίζουμε πώς κατανέμεται, πώς κινείται και πώς παράγεται σε κάθε περιοχή του χωροχρόνου. Για τον σκοπό αυτό εισάγεται το τετραρεύμα εντροπίας, ένα τετραδιάνυσμα που συνήθως συμβολίζεται με Sᵘ.
Επομένως, η ακριβής διατύπωση δεν είναι ότι «η εντροπία είναι διάνυσμα», αλλά ότι:
η τοπική πυκνότητα και η ροή της εντροπίας ενώνονται στη σχετικότητα σε ένα τετραδιάνυσμα.
Γιατί δεν αρκεί ένας απλός αριθμός;
Στη νευτώνεια φυσική μπορούμε να μιλάμε για τη συνολική εντροπία ενός σώματος σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, επειδή θεωρούμε ότι υπάρχει ένας παγκόσμιος και κοινός χρόνος για όλους τους παρατηρητές.
Στη σχετικότητα, όμως, δύο παρατηρητές που κινούνται μεταξύ τους δεν συμφωνούν γενικά για το ποια γεγονότα συμβαίνουν ταυτόχρονα. Έτσι, ακόμη και η φράση «η συνολική εντροπία του συστήματος τώρα» απαιτεί να προσδιορίσουμε πάνω σε ποια χωρική τομή του χωροχρόνου γίνεται η μέτρηση.
Η εντροπία πρέπει επομένως να αντιμετωπιστεί τοπικά: κάθε μικρό στοιχείο ενός ρευστού έχει μια πυκνότητα εντροπίας και μεταφέρει αυτή την εντροπία καθώς κινείται. Η σχετικιστική υδροδυναμική συνδυάζει αυτές τις πληροφορίες σε ένα τετραρεύμα, όπως ακριβώς κάνει με το ηλεκτρικό φορτίο ή τον αριθμό των σωματιδίων.
Το τετραρεύμα εντροπίας
Για ένα ιδανικό σχετικιστικό ρευστό, χωρίς θερμική αγωγή ή ιξώδεις απώλειες, το τετραρεύμα εντροπίας γράφεται:
Sᵘ = s uᵘ,
όπου:
s είναι η πυκνότητα εντροπίας στο σύστημα αναφοράς που κινείται μαζί με το ρευστό,
uᵘ είναι η τετραταχύτητα του ρευστού.
Στο τοπικό σύστημα ηρεμίας του ρευστού, το χωρικό μέρος του τετραρεύματος μηδενίζεται. Υπάρχει μόνο η πυκνότητα εντροπίας. Για έναν παρατηρητή ως προς τον οποίο το ρευστό κινείται, εμφανίζονται και χωρικές συνιστώσες: το ρευστό μεταφέρει εντροπία από μια περιοχή σε μια άλλη.
Η χρονική συνιστώσα συνδέεται με την πυκνότητα εντροπίας, ενώ οι τρεις χωρικές συνιστώσες περιγράφουν τη ροή της. Η σχετικότητα ενοποιεί έτσι την ποσότητα και τη μεταφορά της σε ένα ενιαίο γεωμετρικό αντικείμενο.
Η σχετικιστική μορφή του δεύτερου νόμου
Ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής λέει ότι η συνολική εντροπία ενός απομονωμένου συστήματος δεν μπορεί να μειώνεται. Στη σχετικιστική φυσική η τοπική και συναλλοίωτη μορφή του γράφεται:
∇ᵤSᵘ ≥ 0.
Η ποσότητα ∇ᵤSᵘ εκφράζει την τοπική παραγωγή εντροπίας ανά μονάδα χωροχρονικού όγκου.
Για ένα ιδανικό και αντιστρεπτό ρευστό:
∇ᵤSᵘ = 0.
Η εντροπία απλώς μεταφέρεται μαζί με την ύλη, χωρίς να παράγεται.
Για ένα πραγματικό ρευστό με ιξώδες, θερμική αγωγή, διάχυση ή άλλες μη αντιστρεπτές διεργασίες:
∇ᵤSᵘ > 0.
Παράγεται νέα εντροπία. Με αυτόν τον τρόπο, ο δεύτερος νόμος δεν διατυπώνεται απλώς ως μια χρονική αύξηση ενός συνολικού αριθμού, αλλά ως ένας τοπικός νόμος που ισχύει σε κάθε σημείο του χωροχρόνου. Η απαίτηση της μη αρνητικής απόκλισης του τετραρεύματος χρησιμοποιείται μάλιστα για να περιορίζει τις επιτρεπτές εξισώσεις της σχετικιστικής υδροδυναμικής.
Τι συμβαίνει όταν υπάρχει θερμική ροή;
Σε ένα μη ιδανικό ρευστό, η εντροπία δεν μεταφέρεται μόνο από την κίνηση της ύλης. Μπορεί να υπάρχει θερμική ροή, διάχυση και ιξώδης διασπορά. Σε μια απλή προσέγγιση το τετραρεύμα περιλαμβάνει έναν πρόσθετο όρο της μορφής:
Sᵘ = s uᵘ + qᵘ/T + διορθώσεις,
όπου qᵘ είναι η σχετικιστική ροή θερμότητας και T η θερμοκρασία.
Οι θεωρίες Eckart και Israel–Stewart ανέπτυξαν αυτή την ιδέα, με τη θεωρία Israel–Stewart να εισάγει χρόνους χαλάρωσης ώστε η διάδοση των θερμικών και ιξωδών διαταραχών να παραμένει αιτιακή και να μην εμφανίζονται στιγμιαίες επιδράσεις σε αυθαίρετα μεγάλες αποστάσεις.
Ποια είναι η σχέση με την εκτατικότητα;
Η εκτατικότητα της εντροπίας είναι σημαντική, αλλά δεν την καθιστά διάνυσμα. Και ο όγκος, η μάζα ή ο αριθμός των σωματιδίων είναι εκτατικά μεγέθη, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι διανύσματα.
Η εκτατικότητα σημαίνει ότι η συνολική εντροπία προκύπτει από την πρόσθεση των τοπικών συνεισφορών. Στη σχετικότητα αυτή η πρόσθεση πραγματοποιείται με ολοκλήρωση του τετραρεύματος πάνω σε μια χωρικού τύπου υπερεπιφάνεια Σ:
S[Σ] = ∫Σ Sᵘ dΣᵤ.
Το dΣᵤ περιγράφει τον προσανατολισμό της τρισδιάστατης τομής μέσα στον τετραδιάστατο χωροχρόνο. Η συστολή του με το τετραρεύμα δίνει τελικά έναν βαθμωτό αριθμό: τη συνολική εντροπία που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη τομή.
Αν μεταξύ δύο τέτοιων τομών δεν παράγεται εντροπία και δεν υπάρχει ροή από τα όρια, η συνολική εντροπία παραμένει ίδια. Αν υπάρχουν μη αντιστρεπτές διεργασίες, η μεταγενέστερη τομή περιέχει περισσότερη εντροπία.
Μια σημαντική επιφύλαξη
Η συνηθισμένη εκτατικότητα ισχύει καλά για συστήματα με βραχυ-range αλληλεπιδράσεις και ασθενή βαρύτητα. Στα ισχυρά αυτοβαρυτικά συστήματα η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη. Η εντροπία μιας μαύρης τρύπας, για παράδειγμα, είναι ανάλογη προς το εμβαδόν του ορίζοντα και όχι προς τον όγκο της. Επομένως, η βαρύτητα δείχνει ότι η εντροπία δεν είναι πάντοτε εκτατική με την απλή θερμοδυναμική έννοια.
Συμπέρασμα
Η εντροπία S, ως συνολική φυσική ποσότητα, είναι βαθμωτό μέγεθος. Η πυκνότητα και η ροή της, όμως, σχηματίζουν στη σχετικότητα το τετραρεύμα εντροπίας Sᵘ.
Αυτή η διάκριση είναι θεμελιώδης:
η εντροπία είναι αυτό που μετράμε· το τετραρεύμα εντροπίας περιγράφει πώς αυτή υπάρχει, κινείται και παράγεται μέσα στον χωροχρόνο.
Δεν είναι λοιπόν η εκτατικότητα από μόνη της που «μετατρέπει» την εντροπία σε διάνυσμα. Είναι η απαίτηση της σχετικιστικής συναλλοιώτητας, της τοπικότητας και της αιτιότητας που μας οδηγεί στο τετραρεύμα της.
Πηγές
Eckart, C. (1940), ‘The Thermodynamics of Irreversible Processes. III. Relativistic Theory of the Simple Fluid’, Physical Review, 58, 919–924.
Israel, W. and Stewart, J.M. (1979), ‘Transient Relativistic Thermodynamics and Kinetic Theory’, Annals of Physics, 118, 341–372.
Kovtun, P. (2012), ‘Lectures on Hydrodynamic Fluctuations in Relativistic Theories’.
Romatschke, P. (2010), ‘Relativistic Viscous Fluid Dynamics and Non-Equilibrium Entropy’, Classical and Quantum Gravity, 27, 025006.
Λιγότερα
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου