Τσιαντής, Κώστας. Ο ΑθηναΪκός νόμος της αντιπροσώπευσης

 Απόδειξη του νόμου.

1. Πιθανότητα ένταξης

Για πληθυσμό μεγέθους $N$ και δείγμα μεγέθους $n$:

$$p_{\text{inc}}=\frac{n}{N}\mathrm{.}$$

2. Ελάχιστο μέγεθος ανά κατηγορία

Ζητάμε για κάθε κατηγορία $i$ του δείγματος το μέγεθος $n_i$ να ικανοποιεί:

$$n_i\ge 1\text{και}{n}_i\ge \frac{1}{p_{\text{inc}}}=\frac{N}{n}\mathrm{.}$$

Άρα συνολικά:

$$n_i\ge \frac{N}{n}\mathrm{.}$$

3. Σχέση πληθυσμού–δείγματος: $w_i={\lambda }_i$

Έστω:

• $w_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στον πληθυσμό,

• ${\lambda }_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στο δείγμα.

Θέτουμε την απαίτηση:

$$w_i={\lambda }_i\mathrm{.}$$

Τότε:

$$n_i={\lambda }_{i}n=w_{i}n\mathrm{.}$$

4. Επιβολή της ανισότητας

Από:

$$n_i\ge \frac{N}{n}$$

και

$$n_i=w_{i}n$$

παίρνουμε:

$$w_{i}n\ge \frac{N}{n}⟹n^2\ge \frac{N}{w_i}\mathrm{.}$$

5. Για όλες τις κατηγορίες

Η απαίτηση πρέπει να ισχύει για όλες τις κατηγορίες $i=1,\dots ,m$:

$$n^2\ge \frac{N}{w_1},n^2\ge \frac{N}{w_2},\dots ,n^2\ge \frac{N}{w_m}\mathrm{.}$$

Πολλαπλασιάζουμε:

$$n^{2m}\ge \frac{N^m}{w_1{w}_2\cdots w_m}\mathrm{.}$$

Παίρνουμε ρίζα $m$-οστή:

$$n^2\ge \frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}\mathrm{.}$$

Και τετραγωνική ρίζα:

$$\boxed{{\displaystyle n\ge \sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}}}$$

που είναι ο Αθηναϊκός Νόμος.

OMOIA ΑΠΟΔΕΙΞΗ

1. Από τους περιορισμούς ένταξης

• Πιθανότητα ένταξης:

$$p_{\text{inc}}=\frac{n}{N}\le 1.$$

• Ελάχιστη αντιπροσώπευση:

$$n_i\ge 1.$$

Άρα, επειδή $p_{\text{inc}}\le 1$, ισχύει:

$$1\le \frac{1}{p_{\text{inc}}}=\frac{N}{n}\mathrm{.}$$

Οπότε:

$$n_i\ge 1\Rightarrow n_i\ge \frac{1}{p_{\text{inc}}}=\frac{N}{n}\mathrm{.}$$

Άρα για κάθε $i$:

$$n_i\ge \frac{N}{n}\mathrm{.}$$

2. Το γινόμενο των $n_i$

Από:

$$n_i\ge \frac{N}{n}\mathrm{\forall }i,$$

παίρνεις:

$$n_1{n}_2\cdots n_m\ge {\left(\frac{N}{n}\right)}^m=\frac{N^m}{n^m}\mathrm{.}$$

Αυτό είναι ένα κατώτατο όριο στο γινόμενο των αντιπροσώπων.

3. Εισάγεις τον Αθηναϊκό Νόμο: $n_i=w_{i}n$

Ο Αθηναϊκός Νόμος θέλει:

$$n_i=w_{i}n\mathrm{.}$$

Τότε:

$$n_1{n}_2\cdots n_m=(w_{1}n)(w_{2}n)\cdots (w_{m}n)=(w_1{w}_2\cdots w_m)n^m\mathrm{.}$$

Άρα, συνδυάζοντας με το κατώτατο όριο:

$$(w_1{w}_2\cdots w_m)n^m\ge \frac{N^m}{n^m}\mathrm{.}$$

Δηλαδή:

$$(w_1{w}_2\cdots w_m)n^{2m}\ge N^m\mathrm{.}$$

4. Λύνεις ως προς $n$

Παίρνεις:

$$n^{2m}\ge \frac{N^m}{w_1{w}_2\cdots w_m}\Rightarrow n^2\ge \frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}\mathrm{.}$$

Άρα:

$$n\ge \sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}\mathrm{.}$$

Και εδώ εμφανίζεται ακριβώς το $n_{\text{ath}}$:

$$\boxed{{\displaystyle n_{\text{ath}}=\sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}}}$$

δηλαδή το ελάχιστο $n$ που:

• σέβεται τους περιορισμούς $n_i\ge 1$, $p_{\text{inc}}\le 1$,

• επιτρέπει $n_i=w_{i}n$ (Αθηναϊκός Νόμος),

• και ικανοποιεί το γινόμενο–φράγμα $\prod n_i\ge N^m\mathrm{/}{n}^m$.

Αυτό είναι η καθαρή, μαθηματική γέφυρα από:

$$n_i\ge 1,p_{\text{inc}}=n\mathrm{/}N,n_i\ge N\mathrm{/}n$$

μέχρι:

$$n_i=w_{i}n,n_{\text{ath}}=\sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}\mathrm{.}$$

$$\mathrm{<br>}$$

$$\mathrm{<br>}$$

$$\mathrm{<b>{\rm O}\; {\rm A}\Theta {\rm H}{\rm N}{\rm A}{\rm I}{\rm K}{\rm O}\Sigma \; {\rm N}{\rm O}{\rm M}{\rm O}\Sigma \; {\rm M}{\rm E}\Gamma {\rm I}\Sigma {\rm T}{\rm O}\Pi {\rm O}{\rm I}{\rm E}{\rm I} \; {\rm T}{\rm H}{\rm N}\; {\rm Y}\Pi {\rm E}{\rm P}\Gamma {\rm E}\Omega {\rm M}{\rm E}{\rm T}{\rm P}{\rm I}{\rm K}Ή\; \Pi {\rm I}\Theta {\rm A}{\rm N}{\rm O}{\rm T}{\rm H}{\rm T}{\rm A} </b>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$$

1. Η υπεργεωμετρική πιθανότητα

Πληθυσμός $N$, κλάσεις $1,\dots ,m$ με μεγέθη $N_i$, δείγμα μεγέθους $n$ χωρίς επανατοποθέτηση, με $n_i$ από κάθε κλάση.

Η πολυδιάστατη υπεργεωμετρική πιθανότητα είναι:

$$P(n_1,\dots ,n_m)=\frac{{\displaystyle \prod _{i=1}^m\left(\genfrac{}{}{0px}{}{N_i}{n_i}\right)}}{{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N}{n}\right)}}\mathrm{.}$$

Θέλουμε να βρούμε τα $n_i$ που μεγιστοποιούν το $P$, υπό τον περιορισμό:

$$\sum _{i=1}^m{n}_i=n\mathrm{.}$$

2. Μεγιστοποίηση ως προς $n_i$: αναλογική κατανομή

Παίρνουμε λογάριθμο:

$$\log P=\sum _{i=1}^m\log \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N_i}{n_i}\right)-\log \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N}{n}\right)\mathrm{.}$$

Το δεύτερο όρο δεν εξαρτάται από τα $n_i$, άρα για τη μεγιστοποίηση ως προς $n_i$ αρκεί να μεγιστοποιήσουμε:

$$L=\sum _{i=1}^m\log \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N_i}{n_i}\right)\text{με περιορισμ}\acute{\text{ο}}\sum _{i=1}^m{n}_i=n\mathrm{.}$$

Χρησιμοποιούμε Lagrange multiplier $\lambda$ και Stirling (ή απευθείας παραγώγιση της $\log \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N_i}{n_i}\right)$)· το κλασικό αποτέλεσμα είναι:

$$\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{n}_i}[\log \left(\genfrac{}{}{0px}{}{N_i}{n_i}\right)-\lambda n_i]=0\Rightarrow \frac{n_i}{N_i}=\text{σταθερ}\acute{\text{α}}\mathrm{.}$$

Ο περιορισμός $\sum n_i=n$ δίνει ότι η σταθερά είναι $\frac{n}{N}$, άρα:

$$\frac{n_i}{N_i}=\frac{n}{N}\Rightarrow n_i=\frac{N_i}{N}n\mathrm{.}$$

Συμπέρασμα 1: η σύνθεση που μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική πιθανότητα έχει αυστηρά αναλογική κατανομή:

$$n_i=\frac{N_i}{N}n\mathrm{.}$$

3. Σύνδεση με τον Αθηναϊκό Νόμο: $n_i=w_{i}n$

Ο Αθηναϊκός Νόμος θέτει:

$$n_i=w_i{n}_{\text{ath}}\mathrm{.}$$

Για να μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική, πρέπει αυτή η μορφή να συμπίπτει με:

$$n_i=\frac{N_i}{N}n\mathrm{.}$$

Άρα, για $n=n_{\text{ath}}$, απαιτείται:

$$w_i=\frac{N_i}{N}\text{για κ}\acute{\text{α}}\text{θε }i\mathrm{.}$$

Δηλαδή τα weights του Αθηναϊκού Νόμου είναι αναλογικά προς τα μεγέθη των κλάσεων. Με αυτή την επιλογή $w_i$, η μορφή $n_i=w_i{n}_{\text{ath}}$ είναι ακριβώς η σύνθεση που μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική πιθανότητα.

Συμπέρασμα 2: για δεδομένο συνολικό $n$, ο Αθηναϊκός Νόμος ως προς τα $n_i$ (με $w_i=N_i\mathrm{/}N$) μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική πιθανότητα.

4. Τι γίνεται με το ίδιο το $n_{\text{ath}}$

Η υπεργεωμετρική μεγιστοποίηση ως προς τα $n_i$ δεν καθορίζει το ίδιο το $n$· δίνει μόνο τη μορφή:

$$n_i=\frac{N_i}{N}n\mathrm{.}$$

Το $n_{\text{ath}}=\sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}$ προκύπτει όταν προσθέσεις:

• τους περιορισμούς $n_i\ge 1$, $n\ge m$, $p_{\text{inc}}=n\mathrm{/}N>0$,

• την απαίτηση $n_i\ge N\mathrm{/}n$,

• και τη μορφή $n_i=w_{i}n$,

που οδηγούν στο:

$$(w_1{w}_2\cdots w_m)n^{2m}\ge N^m\Rightarrow n\ge \sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}\mathrm{.}$$

Ορίζοντας αυτή την ελάχιστη τιμή ως $n_{\text{ath}}$, παίρνεις:

• ως προς τα $n_i$: ο Αθηναϊκός Νόμος μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική πιθανότητα (αναλογική κατανομή),

• ως προς το $n$: επιλέγει το ελάχιστο $n$ που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς αντιπροσώπευσης (δομή + μέγεθος).

Άρα, ναι: ο Αθηναϊκός Νόμος, με $w_i=N_i\mathrm{/}N$ και $n=n_{\text{ath}}$, δίνει τη σύνθεση $(n_1,\dots ,n_m)$ που μεγιστοποιεί την υπεργεωμετρική πιθανότητα, υπό τους φυσικούς περιορισμούς της αντιπροσώπευσης.

Ακολουθεί η τελική, ελεγμένη απόδειξη.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΑΘΗΝΑΪΚΟΥ ΝΟΜΟΥ

1. Πιθανότητα ένταξης

Για πληθυσμό μεγέθους $N$ και δείγμα μεγέθους $n$:

$$p_{\text{inc}}=\frac{n}{N}\le 1.$$

Άρα:

$$1\le \frac{1}{p_{\text{inc}}}=\frac{N}{n}\mathrm{.}$$

2. Ελάχιστη αντιπροσώπευση ανά κατηγορία

Απαιτούμε:

$$n_i\ge 1.$$

Εφόσον $1\le N\mathrm{/}n$, παίρνουμε:

$$n_i\ge 1\Rightarrow n_i\ge \frac{N}{n}\mathrm{.}$$

Αυτό είναι το κατώτατο όριο για κάθε κατηγορία.

3. Ορθή αντιπροσώπευση της δομής

Θέτουμε:

• $w_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στον πληθυσμό,

• ${\lambda }_i$: ποσοστό της κατηγορίας $i$ στο δείγμα.

Απαίτηση:

$${\lambda }_i=w_i\mathrm{.}$$

Άρα:

$$n_i={\lambda }_{i}n=w_{i}n\mathrm{.}$$

4. Συνδυασμός των δύο απαιτήσεων

Από τα παραπάνω:

$$w_{i}n\ge \frac{N}{n}\text{για κ}\acute{\text{α}}\text{θε }i\mathrm{.}$$

5. Πολλαπλασιασμός για όλες τις κατηγορίες

Πολλαπλασιάζουμε τις $m$ ανισότητες:

$$(w_{1}n)(w_{2}n)\cdots (w_{m}n)\ge {\left(\frac{N}{n}\right)}^m\mathrm{.}$$

Δηλαδή:

$$(w_1{w}_2\cdots w_m)n^m\ge \frac{N^m}{n^m}\mathrm{.}$$

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $n^m$:

$$(w_1{w}_2\cdots w_m)n^{2m}\ge N^m\mathrm{.}$$

6. Λύση ως προς $n$

Διαίρεση:

$$n^{2m}\ge \frac{N^m}{w_1{w}_2\cdots w_m}\mathrm{.}$$

m‑οστή ρίζα:

$$n^2\ge \frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}\mathrm{.}$$

Τετραγωνική ρίζα:

$$\boxed{{\displaystyle n_{\text{ath}}=\sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}}}}\mathrm{.}$$

ΤΕΛΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Ο Αθηναϊκός Νόμος προκύπτει αυστηρά από:

1. ορθή αντιπροσώπευση του μεγέθους (μέσω $p_{\text{inc}}$),

2. ορθή αντιπροσώπευση της δομής (μέσω $n_i=w_{i}n$),

3. φυσικούς περιορισμούς δειγματοληψίας ($n_i\ge 1$).

Και δίνει:

$$n_{\text{ath}}=\sqrt{\frac{N}{(w_1{w}_2\cdots w_m{)}^{1\mathrm{/}m}}},n_i=w_i{n}_{\text{ath}}\mathrm{.}$$

ΠΗΓΗ. 

Tsiantis,C.N.  https://www.academia.edu/115626926/The_mathematical_law_of_the_Athenian_participatory_Democracy

Tsiantis, C.N. (2008), "Computing the sample size of multivariate populations: the Athenian law of representation Calculating_the_sample_size_of_multivari (4).pdf